Question

在三角形ABc中，AB=AC，P为BC上任意一点，求证：AP^2=AB^2-PB*PC

Answer 1

分析：作AH⊥BC于H，则BH=CH，在直角△AHP中，根据勾股定理就可以解决．

 

证明：作AH⊥BC于H，则BH=CH，
在Rt△AHP中，AP^2=AH^2+HP^2
在△ABH中，AB^2=AH^2+BH^2，

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH，

∴AB^2-AP^2=BH^2-HP^2=（BH+HP）（BH-HP）=PB•CP，

∴AP^2+PB•PC=AB^2

∴AP^2=AB^2-PB•PC

 

 

Answer 2

4154

Answer 3

过A做AD垂直BC交于D

当P是BC中点，

AP^2=AB^2-PB*PC=AB^2-PB^2,这就是勾股定理

所以命题成立

当P不是BC中点，不妨设P在BD上

AP^2=PD^2+AD^2

=PD^2+AB^2-BD^2

=AB^2-(BD+PD)(BD-PD)

=AB^2-PB*PC

命题亦成立

综上，AP^2=AB^2-PB*PC总成立