卷积在工程和数学上都有很多应用：
1、统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
2、概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。
3、声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。
4、电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。
5、物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
扩展资料
卷积的应用
在提到卷积之前, 重要的是要提到卷积出现的背景。卷积发生在信号和线性系统的基础上, 也不在背景中发生, 除了所谓褶皱的数学意义和积分 (或求和、离散大小) 外, 将卷积与此背景分开讨论是没有意义的公式。
信号和线性系统, 讨论信号通过线性系统 (即输入和输出之间的数学关系以及所谓的通过系统) 后发生的变化。
所谓线性系统的含义是, 这个所谓的系统, 产生的输出信号和输入信号之间的数学关系是一个线性计算关系。
因此, 实际上, 有必要根据我们需要处理的信号形式来设计所谓的系统传递函数, 那么这个系统的传递函数和输入信号, 在数学形式上就是所谓的卷积关系。
卷积关系的一个重要案例是信号和线性系统或数字信号处理中的卷积定理。
利用该定理, 时域或空间域的卷积运算可以等价于频域的乘法运算, 从而通过使用快速算法, 实现有效的计算, 节省计算成本, 从而节省计算成本。
参考资料来源：百度百科——卷积公式
卷积在工程和数学上都有很多应用：
1、统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。
2、概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。
3、声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。
4、电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。
5、物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
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各种卷积算子都满足下列性质：
1、交换律、结合律、分配律、数乘结合律、其中a为任意实数（或复数）。
2、微分定理其中Df表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种。
卷积定理指出，函数卷积的傅立叶变换是函数傅立叶变换的乘积。具体分为时域卷积定理和频域卷积定理，时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积，两者具有对偶关系。
参考资料来源：百度百科——卷积公式
概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。
卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。
F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))
其中F表示的是傅里叶变换。
这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。
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卷积的应用
在提到卷积之前，必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。
信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入 输出 和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。
因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。
卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。
参考资料来源：百度百科-卷积
