Question

讨论函数y=10^x+10^-x/10^x-10^-x的定义域、值域和单调性

Answer 1

定义域 10^x-10^-x≠0，即10^x≠10^-x，即10^x≠1，即x≠1，
值域 令t=10^x，即t＞0 且t≠1 则y=（t+1/t）/（t-1/t）=（t²+1）/（t²-1）=1+2/(t²-1)
若(t²-1)＞0，则y＞1
若-1＜(t²-1)＜0，则y＜-1
单调性 涉及复合函数的概念，外函数y=1+2/(t²-1）在t＞1时，是减函数，在-0＜t＜1时，是减函数，而内函数t=10^x，在x＞1时是增函数，在x＜1是增函数。
故在x＞1时，y=10^x+10^-x/10^x-10^-x是减函数
在x＜1时，y=10^x+10^-x/10^x-10^-x是减函数

Answer 2

定义域：令 分母=0，得 x不等于0。(-无穷，0)U（0，无穷） 关于原点对称。
奇偶性：f(-x)=10^x+10^-x/(-10^x+10^-x)=-f(x) 奇函数
值域：先上下同乘10^x, 得y=(10^2x +1)/(10^2x-1)
拆分：y=1+ 2/(10^2x -1) （可以直接看出值域。）
（如果看不出）那么，反表示：10^2x=2/(y-1) +1>0
节不等式得：（负无穷，-1）U(1,正无穷)