Question

已知数列{an}满足a1=3,anan-1=2an-1-1,(1)求证{1/an-1}是等差数列

Answer 1

（1）教你一招：
你就设: 1/(an -1) - 1/(a(n-1) -1)=d
化开得到 d(an*a(d-1))=(d-1)an + (d+1)a(n-1)-d
令d=1,则得到 an*a(n-1)=2*a(n-1)-1， 满足原式。
所以， d=1.
是以公差为1的等差数列。
（你如想顺着证明，倒回去即可。这方法从问题出发，容易给你思路）
（2）所以，1/(an-1)=1/(a1 -1) +n-1, a1=3
得到： an=(2n+1)/(2n-1)
所以：bn=1/(2n-1)(2n+1)
拆分得：bn=0.5[1/(2n-1) - 1/(2n+1)]
所以，Sn=b1+b2+b3......+bn=0.5[1-1/3 +1/3 -1/5 +1/5........-1/(2n+1) ]
中间的项消掉。
Sn = 0.5*[1-1/(2n+1)]=n/(2n+1)

Answer 2

(1)
证：
ana(n-1)=2a(n-1)-1
a(n-1)=0时，0=-1，等式恒不成立，因此数列各项均不为0
a(n-1)=1/2时，ana(n-1)=0，an和a(n-1)中至少有1个为0，与各项不为0矛盾，因此数列各项均不等于1/2。 (这步判断一定要的，不能直接列分式)
ana(n-1)=2a(n-1)-1
an=[2a(n-1) -1]/a(n-1)
an -1=[2a(n-1)-1-a(n-1)]/a(n-1)=[a(n-1)-1]/a(n-1)
1/(an -1)=a(n-1)/[a(n-1) -1]=[a(n-1)-1+1]/[a(n-1)-1]=1 +1/[a(n-1)-1]
1/(an -1)-1/[a(n-1)-1]=1，为定值。
1/(a1-1)=1/(3-1)=1/2
数列{1/(an -1)}是以1/2为首项，1为公差的等差数列。
(2)
解：
1/(an -1)=1/(a1 -1) +(n-1)=1/2 +n-1= n-1/2=(2n-1)/2
an -1=2/(2n-1)
an=2/(2n-1) +1=(2+2n-1)/(2n-1)=(2n+1)/(2n-1)
bn=an/(2n+1)²=[(2n+1)/(2n-1)]/(2n+1)²=1/[(2n+1)(2n-1)]=(1/2)[1/(2n-1) -1/(2n+1)]
Sn=b1+b2+...+bn
=(1/2)[1/1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)

Answer 3

答：
(1)
证：
ana(n-1)=2a(n-1)-1
a(n-1)=0时，0=-1，等式恒不成立，因此数列各项均不为0
a(n-1)=1/2时，ana(n-1)=0，an和a(n-1)中至少有1个为0，与各项不为0矛盾，因此数列各项均不等于1/2。 (这步判断一定要的，不能直接列分式)
ana(n-1)=2a(n-1)-1
an=[2a(n-1) -1]/a(n-1)
an -1=[2a(n-1)-1-a(n-1)]/a(n-1)=[a(n-1)-1]/a(n-1)
1/(an -1)=a(n-1)/[a(n-1) -1]=[a(n-1)-1+1]/[a(n-1)-1]=1 +1/[a(n-1)-1]
1/(an -1)-1/[a(n-1)-1]=1，为定值。
1/(a1-1)=1/(3-1)=1/2
数列{1/(an -1)}是以1/2为首项，1为公差的等差数列。
(2)
解：
1/(an -1)=1/(a1 -1) +(n-1)=1/2 +n-1= n-1/2=(2n-1)/2
an -1=2/(2n-1)
an=2/(2n-1) +1=(2+2n-1)/(2n-1)=(2n+1)/(2n-1)
bn=an/(2n+1)²=[(2n+1)/(2n-1)]/(2n+1)²=1/[(2n+1)(2n-1)]=(1/2)[1/(2n-1) -1/(2n+1)]
Sn=b1+b2+...+bn
=(1/2)[1/1-1/3+1/3-1/5+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1)
就是这样！！！！！！！！

追问

求an的通项公式没懂

Answer 4

两边同时减去An-1,化简一下，构造1/(An -1)的等差数列，就做出来了

Answer 5

高考数学数列大题训练百度文库第5题 百度一下