Question

请问一道三角函数应用题

某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室(如图所示)，ABCD是一块边长为50 m的正方形地皮，扇形CEF是运动场的一部分，其半径为40 m，矩形AGHM就是拟建的健身室，其中G、M分别在AB和AD上，设矩形AGHM的面积为S，∠HCF=θ，请将S表示为θ的函数，并指出当点H在何处时，该健身室的面积最大，最大面积是多少？

解析式3600-2400(sinx+cosx)+1600sinxcosx
我就想知道....最大面积怎么求...H在何处

Answer 1

AG的长=50-40cosθ
AM的长=50-40sinθ
所以S=(50-40cosθ)(50-40sinθ)
=2500-2000(cosθ+sinθ)+1600sinθcosθ (你上面那个式子是说ABCD是一块边长为60m)
令cosθ+sinθ=t,则sinθcosθ =(t²-1)/2 t∈[1,√2]
∴S=2500-2000t+800t²-800=800t²-2000t+1700
=800(t-5/4)²+450
所以最大值为500,即H在E,F点上

追问

请问t为什么要>1
还有在列出二次函数后..为什么就"即H在E,F点上 "了呢

Answer 2

令sinx+cosx=t,则sinxcosx=t平方-1/2, 写成关于t的函数求最大值，θ取值范围是[0,90°],解就行了

Answer 3

说