Question

若关于x的一元二次方程x²-（m+1）x-m=0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：
△=[-(m+1)]²-4×1×(-m)
=m²+2m+1+4m
=m²+6m+1
△﹥0
m²+6m+1﹥0
(m²+6m+9)-8﹥0
(m+3)²-(2√2)²﹥0
(m+3+2√2)(m+3-2√2)﹥0
(m+3+2√2)与(m+3-2√2)同号，有两种情况：
m+3+2√2﹥0 且 m+3-2√2﹥0，解集为 m﹥2√2-3
或 m+3+2√2﹤0 且 m+3-2√2﹤0，解集为 m﹤-3-2√2
所以，方程有两个不相等的实数根时，m﹥2√2-3 或 m﹤-3-2√2

Answer 2

由一元二次方程根的判别式△=b^2-4ac
（m+1）^2+4m
=m^2+2m+1+4m
=m^2+6m+1
由题意m^2+6m+1〉0则
先求根利用求根公式得m1=（-3+2√2）,m2=（-3-2√2),
由题意，m〉（-3+2√2),或m〈(-3-2√2),

Answer 3

令f(x)=x²-（m+1）x-m
则f'(x)=2x-(m+1)，f(x)的极值点为x=(m+1)/2
要使得f(x)=0有两个根，则当x=(m+1)/2时，f(x)<0
即：(m+1)^2/4 -(m+1)^2/2 - m<0
-(m+1)^2-4m<0
m^2+6m+1>0
(m+3)^2>8
m>2√2 - 3或m<-2√2 - 3

Answer 4

b^2-4ac>0
(m+1)^2+4m>0
m^2+6m+1>0
x<-3-2√2 或X>-3+2√2