问一道奥数题:
问一道奥数题:3个连续自然数,它们从小到大顺次是7的倍数,9的倍数,11的倍数,这3个连续自然数的和最小值是多少,谢谢...
问一道奥数题:3个连续自然数,它们从小到大顺次是7的倍数,9的倍数,11的倍数,这3个连续自然数的和最小值是多少,谢谢
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首先留意前两个数,两个连续自然数第一个是7的倍数,第二个是9的倍数,不难找到最小的这样的数是35,36,但是37并不是11的倍数,所以我们需要寻找更大的符合这样条件的数。
如果35+n与36+n仍然前者是7的倍数,后者是9的倍数,那么显然n要既是7的倍数,也是9的倍数(同余的规律),那么n就应该是63的倍数
所以第一个数是35+63n,第二个数是36+63n,第三个数是37+63n
n=1,2,3……
n=1时,37+63=100,除以11余数为1,而63除以11余数是8
所以如果对于某一个n,有37+63n是11的倍数,那么1+8(n-1)也是11的倍数(这里减一是因为1这个余数已经是n=1情况下的结果了,再加8的话实际上是n=2的结果)
易得最小的这样的n-1是4,n=5
所以最小的情况下,这三个数分别为350,351,352,它们的和是1053
如果35+n与36+n仍然前者是7的倍数,后者是9的倍数,那么显然n要既是7的倍数,也是9的倍数(同余的规律),那么n就应该是63的倍数
所以第一个数是35+63n,第二个数是36+63n,第三个数是37+63n
n=1,2,3……
n=1时,37+63=100,除以11余数为1,而63除以11余数是8
所以如果对于某一个n,有37+63n是11的倍数,那么1+8(n-1)也是11的倍数(这里减一是因为1这个余数已经是n=1情况下的结果了,再加8的话实际上是n=2的结果)
易得最小的这样的n-1是4,n=5
所以最小的情况下,这三个数分别为350,351,352,它们的和是1053
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1053
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设这3个连续自然数为:7k、9m和11n,有7k+1=9m…①,7k+2=11n…②;①×②-②可得7k=18m-11n=(11m-11n)+7m,变形可得7(k-m)=11(m-n),可设k-m=11t,即k=11t+m…③,将③带入①可得77t+7m+1=9m,m=(77t+1)/2,当t=1时,m可取最小正整数为39,k=11×1+m=50,将k=50代入到②可得n=32;3个连续自然数为:7×50、9×39和11×32,即350、351、352,它们的和是1053。
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