Question

函数的水平渐近线和斜渐近线不可能在同一方向上同时存在，这句话如何理解？

是不是说，求完水平渐近线后，如果是整个区间，就不用求斜渐近线？

Answer 1

如果趋向于正无穷大时是水平渐近线，那么趋向于正无穷大时是不可能存在斜渐近线。求完水平渐近线后，如果是整个区间，就不用求斜渐近线。

若当x趋向于无穷时，函数y=f(x)无限接近一条固定直线y=Ax+B（函数y=f(x)与直线y=Ax+B的垂直距离PN无限小，且limPN=0），当然也即PM=f(x)-(Ax+B)的极限为零，则称y=Ax+B为函数y=f(x)的斜渐近线。

当a=0时，有limf(x)=b (x趋向于无穷时)，此时称y=b为函数f(x)的水平渐近线。所以，水平渐近线只是斜渐近线的一种特殊情况。解题时，我们可以不考虑水平渐近线，而只考虑斜渐近线和铅直渐近线。

Answer 2

函数的水平渐近线和斜渐近线可以共存。

比如

1、函数(y+x+1)^2=x+1有两条渐近线，一个是水平y=-1，一个是斜渐近线2x+y+1=0。

2、分段函数：x=0时，y=x+ 1/(x^2+1)，有斜渐近线y=x。

渐近线是指：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。可分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。

1、求水平渐近线

（1）若lim{x趋向于正无穷}f(x)=a 或者lim{x趋向于负无穷}f(x) =a

（2）那么有水平渐近线y=a；垂直渐近线；若存在x0

（3）使得lim{x趋向于x0+}f(x)=无穷或者lim{x趋向于x0-}f(x)=无穷

（4）这个无穷,可以是正无穷,也可是负无穷；那么有垂直渐近线 x=x0

2、求斜渐近线

（1）若lim{x趋向于正无穷}[f(x)/x]=a ，且a不等于0

（2）而且lim{x趋向于正无穷}[f(x)-ax]=b，

（3）那么有斜渐近线y=ax+b

（4）然后再看x趋向于负无穷时，重复上述过程，找出是否存在另一条斜渐近线。

Answer 3

你的理解是正确的，如果趋向于正无穷大时是水平渐近线，那么趋向于正无穷大时是不可能存在斜渐近线的，但是当趋向于负无穷大时可能有斜渐近线，反之一样

Answer 4

如果斜的和水平的同时存在，那么必然出现一个x对应两个y的情况，与函数的一一对应不符合，就不叫函数了

追问

那我求完水平渐近线后，如何判断是否需要继续求斜渐近线？多谢啦

追答

你那个函数是复合函数？复合函数的渐近线用原函数图像决定

举个例子吧，y=x+1/x

斜渐近线的求法的话你计算函数极限，当x趋近某个值a时(limx→a),函数值是否趋近一个定值

Answer 5

根据经验，一般函数如果是用分数的形式给出，只有分子自变量的最高次比分母恰好大1时才有斜渐近线，如果有铅垂渐近线的话就没有斜渐近线！