Question

函数y=a的x次方—x 有两个零点，则a的取值范围是？

Answer 1

y=a^x-x
y'=a^x lna-1=0, 得：x=ln(1/lna)/lna=-ln(lna)/lna
a<1时，lna<0, y'<0, 函数单调减，至多只有一个零点，不符
a>1时，由y'=0,得极小值点：x0=loga(1/lna)
有两个零点，表明极小值小于0， 即f(x0)=1/lna-loga(1/lna)<0
即1/lna+ln(lna)/lna<0， 由lna>0,得：
1+ln(lna)<0
ln(lna)<-1
lna<1/e
因此得：1<a<e^(1/e)