Question

帮忙求一个极限。谢谢各位大神。

Answer 1

这属于1^(无穷)型的，做法都是利用(1+x)^(1/x)趋于e来做。
将表达式写为
【(1+(e^x+...+e^(nx)--n)/n)^(n/(e^x+...+e^(nx)--n))】^【(e^x+...+e^(nx)--n)/n)*(1/x)】
第一个中括号也就是底数部分趋于e，因此只看指数部分。
利用e^x--1等价于x，因此e^(kx)--1等价于kx，
故lim (e^x+...+e^(nx)--n)/(nx)
=lim (e^x--1)/(nx)+...+lim (e^(nx)--1)/(nx)
=1/n+2/n+...+n/n
=(n+1)/2，
因此原极限=e^【(n+1)/2】

Answer 2

e^x+e^2x+...+e^nx
=(e^(n+1)x - e^x) / (e^x - 1)
取e^x = 1 + x + x^2/2 + ...
(e^x+e^2x+...+e^nx)/n
=[(n+1)x+(n+1)^2x^2 / 2 - x - x^2 / 2] / n(x+x^2/2)
=[nx + (n^2+2n)x^2 / 2] / n(x+x^2/2)
=[2 + (n+2)x] / (2+x)
设y = [2 + (n+2)x] / (2+x)
那么y' = (2n+2)/(2+x)^2
lim lny / x = y' / y = (n+1)/2
所以
原式 = y^(1/x) = e^((n+1)/2)

Answer 3

？