Question

已知抛物线y=-3/4x^2-x+m与x轴有两个不同的交点A、B,抛物线的顶点为C。

已知抛物线y=-3/4x^2-x+m与x轴有两个不同的交点A、B,抛物线的顶点为C。求是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形。

Answer 1

我的方法是运用此一元二次方程（抛物线）两根和、差公式以及顶点坐标公式。
解：假设存在实数m符合题意
设方程两根分别为x1,x2，则有x1+x2=-4/3,x1*x2=-(4/3)m ①
由于A、B位于X轴上，欲使△ABC为等腰直角三角形，必有点C为直角顶点，且其坐标为
（-2/3，m/3+1）。
再由△ABC几何关系易得2*（m/3+1）=|x1-x2|=[(x1+x2)^2-4x1*x2]^(1/2)，代入 ①式即可得出m，最后验证。
方法大概是这样的，我算得的结果是m=1或-1/3，由于根的判别式△>0，所以m=-1/3舍去，最后结果为m=1，即存在m=1符合题意