Question

设△ABC的内角A B C所对边的长分别为a b c则下列命题正确

设△ABC的内角A B C所对边的长分别为a b c则下列命题正确 ①ab>c^2 ②若a+b>2c，则C<π/3 ③若a^3+b^3=c^3，则C<π/2 ④若(a+b)c<2ab，则C>π/2

Answer 1

①？
②由正弦定理，sinA+sinB>2sinC,
∴2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]>4sin(C/2)cos(C/2),
sin[(A+B)/2]=cos(C/2)>0,
∴cos[(A-B)/2]>2sin(C/2),
∴sin(C/2)<1/2,0<C/2<π/2,
∴C/2<π/6,C<π/3.
③由a^3+b^3=c^3得0<a<c,0<b<c,
∴a^2+b^2>a^2*a/c+b^2*b/c=(a^3+b^3)/c=c^2,
∴C<π/2 .
④当a>c,b>c时(a+b)c=ac+bc<ab+ba=2ab,
此时C<A,C<B,
C<π/3.
选②、③。

Answer 2

①用余弦定理：cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)>(a^2+b^2-ab)/(2ab)>(2ab-ab)/2ab=1/2
∴cosC>1/2
∴C<π/3
补a^2+b^2>2ab 这不用证明了吧

Answer 3

因为c^2<ab,
所以cosC=a^2+b^2-c^2/2ab>a^2+b^2-ab/2ab;
因为a^2+b^2>2ab,
所以cosC>1/2,C<π/3