Question

若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)也为奇函数，则f(x)是以4为周期的奇函数。求证明这一点.

Answer 1

根据奇函数的定义，
f(-x)=-f(x)①
f(-x+2)=-f(x+2)②
由①，有f(-x+2)=-f(x-2)③
将③代入②，有-f(x-2)=-f(x+2)，即f(x-2)=f(x+2)
则已经证明f(x)是以4为周期了。

Answer 2

证明：
由题设可知，对任意实数x,恒有：
f(x)+f(-x)=0
f(x+2)+f(-x+2)=0

在等式f(x)+f(-x)=0中，设x=-t+2,则-x=t-2
此时有：f(-t+2)+f(t-2)=0
即有：f(-x+2)+f(x-2)=0
又：f(-x+2)+f(x+2)=0
∴恒有：f(x-2)=f(x+2)

再设x-2=k,则x+2=k+4
∴可得：f(k)=f(k+4)
即恒有：f(x+4)=f(x)
由周期函数定义可知，
函数f(x)是周期为4的周期函数。

Answer 3

这个题目应该是比较典型的函数题目的，。。我毕业好久了。。现在忘记了。。不过应该不难的了。。

Answer 4

f(x+2)也为奇函数,则f(-x+2）=-f(x+2),令x=2-x。即可。。