Question

关于复合函数单调性的问题

根据复合函数的单调性，“同增异减” 现有如下两个函数：
y=t+1/t
t=2^x

第一个函数在（0，1）单调递减，在（1，正无穷）单调递增
第二个函数在（0，1）单调递增，在（1，正无穷）单调递增
则根据复合函数单调性原则，复合函数y=2^x+1/2^x应当在（0，1）单调递减 ，在（1，正无穷）单调递增
但为何这个y=2^x+1/2^x却在（0，正无穷）上单调递增呢？
请从复合函数单调性的角度解释此问题，不要回答求导、定义等其他方法

Answer 1

复合函数要注意内函数和外函数的定义域的，你弄的函数的内函数在（0，正无穷）上的值域就是（1，正无穷），所以外函数的定义域就是（1，正无穷）所以外函数一定是增的，而内函数是指数函数，一定是增的，综合起来外函数内函数在定义域内都是增的，所以同增
这种复合函数要注意定义域，内函数的定义域，不要混淆

追问

外函数是y=t+1/t
定义域不应该是t≠0吗

追答

是啊，但是你的内函数是2^x,而它在（0，正无穷）上是大于1的，所以对于f(g(x))来说，f的定义域就是（1，正无穷）

Answer 2

复合函数单调性性质：1.若 f （x) ，g（x）单调性相同，则 f(g(x))为增函数；
2若 :f （x) ，g（x）单调性相反则 f(g(x))为减函数

并没有F（x）+G（x）的特殊规律、
要想有根有据的推只能求导了

追问

外函数y=t+1/t
内函数t=2^x 复合以后y=2^x+1/2^x
哪里有两个函数相加？

追答

y在（1，正无穷）单增，但是此时的自变量是t，不是x
当t的值域属于（1，正无穷）时，x的范围是（0，到正无穷）
所以y单增的范围对于X来说就是（0，正无穷）
这样Y（2^x）的单增区间就是（0，正无穷）

Answer 3

异减是不对的，比如两个函数，y1=x^2，y2=-x
在（0，正无穷）上，是增函数

函数单调性可以用定义求，f(x+1)-f(x)与0的关系

Answer 4

呵呵 高中数学啊~~~那个复合函数其实就是平移原函数得到的！ 复合函数自变量在X轴上向右移动了3个单位（左+，右-），所以单调区间也移动并且向右~~~ 就

Answer 5

求导数 极点