Question

△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2。（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，

——（连题目）有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由。（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2（如图2），则S2=_____；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3（如图3）；继续操作下去…则第10次剪取时，S10=______。（3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和。问题补充：

Answer 1

1)甲图：设正方形DECF的边长为x,
在等腰直角三角形ABC中，∠A=45,又∠AED=90,
所以AE=DE=x,
由AE+CE=2，得2x=2,
x=1,
正方形DECF的面积为1，
乙图：由勾股定理，得AB=2√2
设△ABC斜边上的高为h,根据△ABC面积不变，得，
(1/2)*AB*h=(1/2)*AC^2
解得h=√2
设正方形PQMN的边长为x,根据△CFQ∽△CBA,得
PQ/BA=(√2-x)/√2
解得x=2√2/3
所以正方形PQMN的面积=x^2=8/9
因为1>8/9
所以甲的剪法的正方形面积大于乙的剪法的正方形的面积

2）图2中的△ADE的面积为1/2,里面的正方形的面积为△ADE的面积的一半=1/4
即s2=2×(1/4)=1/2
图3中的4个三角形的面积和为1/2，而这四个正方形的面积是它面积的一半，
即s3=1/4
当第10次时，面积为s10=(1/2)^(10-1)=1/2^9=1/512

3）10次后所有小正方形的面积和S10相等，也是1/512

Answer 2

甲、种剪法，所得的正方形面积更大 占总面积4/8
乙种剪法所得的正方形面积 占总面积4/9
S2=___1/4__；
每剪一次是剩余的二分之一 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32，，，，，

Answer 3

1 甲的正方形边长为1 乙的正方形边长为2√2/3 故甲的大
2 S2=1/2 S10=1/2^9
3 =2-(1+1/2+1/2^2+....+1/2^9)=1/2^9

Answer 4

(1)甲图中的正方形面积为(1/2AC)^2=1,乙图中正方形面积为(1/3AB)^2=8/9
(2)第二次剪取后得的正方形面积和S2=2*(1/2ED)^2=1/2
第三次剪取后得S3=2*(1/4ED)^2=1/4
发现S1,S2,S3.....Sn成等比数列,公比为1/2
S10=S1*(1/2)^(10-1)=(1/2)^9=1/512
(3)先求S1到S10的和A10=S1[1-(1/2)^10]/(1-1/2)=1023/512
用三角形的面积AC*BC/2=2*2/2=2减去A10=2-1023/512=1/512