Question

函数f（x）是定义在R上的函数，若对于任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）<0

f(3)=-3,求函数y=f(x)在[m,n](m,n~Z,且mn<0)上的值域

Answer 1

解：
令x=y=0
则f(0+0)=f(0)+f(0)，则f(0)=0
再令y=-x
则f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0
所以-f(x)=f(-x)，则f(x)为奇函数

任取x1,x2属于R,且x1>x2
则：f(x1)-f(x2)
=f(x1)+f(-x2)
=f(x1-x2)
由于：x1-x2>0,则：f(x1-x2)<0
所以函数f(x)在R上单调递减

由于：f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+2f(1)=3f(1)=-3
则：f(1)=-1
因为:m<n,且mn<0
则：m<0,n>0
故对m,n属于Z,有：
f(m)=-f(-m)=-[(-m)f(1)]=mf(1)=-m
f(n)=nf(1)=-n
又：f(x)在R上单调递减
故f(x)在[m,n]上的值域为：[-n,-m]