Question

设a是实数，f（x）=a-2/2^x+1 x属于R

1、试证明 对于任意a fx在R为增函数
2、试确定a的值，使fx为奇函数

Answer 1

（1）假设 X1>X2 则 f(x1) - f(x2) = a-2/2^x1 +1 -a+2/2^x2 -1 =2/2^x2 -2/2^x1 = (2^(x1+1) -2^(x2+1))/2^(x1*x2)
因为 x1>x2 所以x1+1 >x2+1 所以2^(x1+1) -2^(x2+1）> 0
即 f(x1) - f(x2) > 0 所以 f(x1) > f(x2)
对于任意a，f(x)为增函数成立

（2）若f(x)为奇函数成立，则f(-x) = -f(x)。
由奇函数的定义可知：f(0) =0,
故f(0) = a - 2/(2^0 +1)=a -1 =0,
所以：a =1

Answer 2

（1）根据函数单调性的定义 令 X1>X2 那么f(x1) - f(x2) = a-2/2^x1 +1 -a+2/2^x2 -1 =2/2^x2 -2/2^x1 = (2^(x1+1) -2^(x2+1))/2^(x1*x2)
因为 x1>x2 所以x1+1 >x2+1 所以2^(x1+1) -2^(x2+1）> 0
即 f(x1) - f(x2) > 0 所以 f(x1) > f(x2)
对于任意a，f(x)为增函数成立

（2）若f(x)为奇函数成立，则f(-x) = -f(x)。
由奇函数的定义可知：f(0) =0,
故f(0) = a - 2/(2^0 +1)=a -1 =0,
所以：a =1