Question

【高一数学】求详解

【1】已知θ是第三象限的角，且sin²θ-(cos²θ)²=5/9,求得sin2θ的值为
【2】已知tan(π/4+θ)=3,则sin2θ-2cos²θ=
【3】求证：(sin²α+tanα×tan(α/2)+cos²α)×(sin²α)/(2cosα)=tanα

Answer 1

解：
1.
由 sin²θ+cos²θ=1
∴ sin²θ=1-cos²θ
则 原式可化为
1-cos²θ-(cos²θ)²=5/9
即 (cos²θ-1/2)²=25/36
解得cos²θ=4/3
又 θ是第三象限的角
∴ cosθ=-2√3/3
∴ sinθ=-√3/3
∴ sin2θ=2sinθcosθ=4/3

2.
由 tan(π/4+θ)=3
∴ (tanπ/4+tanθ)/(1-tanπ/4tanθ)=3
即 (1+tanθ)/(1-tanθ)=3
解得tanθ=1/2
易知sinθ=√5/5，cosθ=2√5/5
∴ sin2θ-2cos²θ=2sinθcosθ-2cos²θ=2·2√5/5·√5/5-2·(2√5/5)²=4/5-8/5=-4/5

3.证明：
易知，tanα=tan(2·α/2)=2tan<α/2>/(1-tan²<α/2>)
tan²x= sin²x / cos²x

∴左边=[1+2tan<α/2>/(1-tan²<α/2>)×tan<α/2>]×(sin²α)/(2cosα)
=(1+tan²<α/2>)/(1-tan²<α/2>)×(sin²α)/(2cosα)
……将1通分为(1-tan²<α/2>)/(1-tan²<α/2>)后合并
=(1+sin²<α/2>/cos²<α/2>)/(1-sin²<α/2>/cos²<α/2>)×(sin²α)/(2cosα)
=(cos²<α/2>+sin²<α/2>)/(cos²<α/2>-sin²<α/2>)×(sin²α)/(2cosα)
……上下同乘cos²<α/2>
=1/cosα×(sin²α)/(2cosα)
=tan²α/2
本人证不出来着，留给后来者参考下吧。。

我再用化简tan<α/2>做看看。。
证明：
易知,cosα=cos²<α/2>-sin²<α/2>=1-2sin²<α/2>，则有
1-cosα=2sin²<α/2>
∴tan(α/2)=sin(α/2)/cos(α/2)
=sin²(α/2)/[sin(α/2)cos(α/2)]
=2sin²(α/2)/sinα
=(1-cosα)/sinα
∴左边=[1+sinα/cosα×(1-cosα)/sinα]×(sin²α)/(2cosα)
=[1+(1-cosα)/cosα]×(sin²α)/(2cosα)
=1/cosα×(sin²α)/(2cosα)
=tan²α/2
答案同上。

Answer 2

【1】
cos2θ=2(cosθ)^2-1=1-2(sinθ)^2，
sin²θ-(cos²θ)²=(1-cos2θ)/2-[(1+cos2θ)^2]/4=[1-4cos2θ-(cos2θ)^2]/4=5/9
解得cos2θ=1/3（舍去-11/3）
（sin2θ）^2=8/9,θ为第三象限角，π＜θ＜3π/2，则2π＜2θ＜3π，2θ在一、二象限，∴sin2θ=2√2/3
【2】提示：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) ，sin2θ=2sinθcosθ
【3】提示：tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
累了，反正就那么几个公式，变变就出来了