Question

2012全国卷理科数学最后一题的详细答案

22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）
函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。
（Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式。

Answer 1

过两点（a1，b1），（a2，b2）公式为f(x)=(b2-b1)/(a2-a1)*(x-a1)+b1。
那么PQn过(Xn+1 ，0)点。
即有(f(Xn)-5)/（Xn-4）（Xn+1 -4)+5=0,带入计算有 Xn+1=4-5/(xn +2),
两边都+1，
则Xn+1 +1 = 5(xn +1)/(xn +2),倒过来，令yn=1/(xn +1);
即得5* yn+1 =1 + yn;
两边减去5/4，有
5(yn+1 -1/4)=yn -1/4;
由yn=1/(xn+1),知y1-1/4=1/3-1/4=1/12;
则yn=1/12*(1/5)^(n-1)+1/4;
则xn的通项公式为
xn=[9-(1/5)^(n-1)]/[(1/5)^(n-1)+3];（可带入n=2验算，得x2=（44/5)/(16/5)=11/4符合）
这里只写了第二问，但有此通项证明第一问亦无不可。
第一问思路 4-5/(x+2)>x,在x∈(-1,3)必然成立，则证明两边即可，归纳可得x<3,x>2。得证。

Answer 2

先证(2)
f(x)=x2-2x-3
根据斜率
x（n+1）=4-5/tan（a）
又tan（a）=5-f(xn)/4-xn=xn+2
所以x（n+1）=4-（5/xn+2）
易得xn