Question

向量a = ( cos3θ/2，sin3θ/2) , 向量b =(cosθ/2，- sinθ/2)，且θ∈[0,π/3]

原题：已知 向量a = ( cos3θ/2，sin3θ/2) , 向量b =(cosθ/2，- sinθ/2)，且θ∈[0,π/3]。求 （a·b）/ | a+b |（a、b均为向量）的最值。

我的做法：化简，得原式= （2 cos^2 θ - 1）/ 2cosθ，
设cosθ=t（t∈ [1/2，1] ），则原式 = ( 2t -1/t )/2 ，
设 y = ( 2t -1/t )/2 。
整理得 2t^2-2yt-1=0 。
为求所问，将它看作关于 t 的一元二次方程，求参数 y，用二次函数根的分布，
将 Δ≥0；f（1/2）≥0；f（1）≥0；1/2 ≤ y ≤ 1 四式联立。
但是求到这里无解，请指点是哪里出了错，万分感谢！

Answer 1

|a+b|=2cosθ算错了，应该是|a+b|=4(cosθ)^2

所以，原式=[2(cosθ)^2-1]/[4(cosθ)^2]=1/2-1/[4(cosθ)^2]

0<=θ<=π/3、1/4<=(cosθ)^2<=1、1<=4(cosθ)^2<=4、1/4<=1/[4(cosθ)^2]<=1

-1/2<=1/2-1/[4(cosθ)^2]<=1/4

.

追问

谢谢，但 |a+b| 不是 a+b 坐标的平方和的开平方吗？

追答

哎呀，那我算错了。
t∈ [1/2，1]
y = ( 2t -1/t )/2是增函数。
最小值是ymin=(1-2)/2=-1/2、最大值是ymax=(2-1)/2=1/2

f（1/2）≥0；f（1）≥0是错的，它不能保证在区间t∈ [1/2，1]上有根。

追问

恩，谢谢你，我用导数算过单调性，但想不通根的分布为什么做错了，
除 f（1/2）≥0；f（1）≥0 外，我还限定了判别式 、对称轴，这样可以保证有根

追答

你对称轴错了，应该是：1/2 ≤ y/2 ≤ 1

追问

不好意思，手滑打错了，我算的时候是拿1/2 ≤ y/2 ≤ 1算的，f（1/2）≥0 解出 y≤-1/2；f（1）≥0解出y≤1/2；判别式≥0解出 y∈R；1/2 ≤ y/2 ≤ 1解出 1 ≤ y ≤ 2，交集是空集

追答

f(t)=2t^2-2yt-1
f(t)在区间[1/2,1]上有零点就行，不一定非要有两个零点。
所以，f(1/2)>=0和f(1)>=0不用同时成立。
应该是取f(1/2)>=0和f(1)>=0并集。

追问

如果[1/2，1]上可能只有一个零点，那么t∈ [1/2，1]就不成立了啊

追答

如果[1/2，1]上可能只有一个零点，那么t∈ [1/2，1]怎么就不成立了呢？？

比如t=t0∈ [1/2，1]是那个零点，则y=(2t0-1/t0)/2。
有t0∈ [1/2，1]就行。

追问

我懂了，只要有定义域内的一个值可以指向它，它就在值域内，所以[1/2，1]外存在零点也不妨碍取y。所以应该分类讨论，f（t）=0的零点全部在[1/2，1]内，和仅有一个零点在[1/2，1]内，取两类的并集。第一类无解，第二类 f（1/2）f（1）≤0，解得y∈[-1/2，1/2]。取并集，得y∈[-1/2，1/2]，最小值-1/2，最大值1/2

追答

另外，y = ( 2t -1/t )/2是增函数也不用求什么导数。
2t是增函数、-1/t是增函数，y = ( 2t -1/t )/2就是增函数。