Question

已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x)=1-1/f(x+2),且f(0)=m(m>0) 1.求f(2)及f(4)，f(6)的值

1.求f(2)及f(4)，f(6)的值
2.求f(x)的一个周期并证明
3.若f(1)=√5 -1，求f(2^8+7)的值

Answer 1

1、令x=0，m=1-1/f(2),f(2)=1/(1-m),1/(1-m)=1-1/f(4),f(4)=(m-1)/m,

(m-1)/m=1-1/f(6),f(6)=m；

2、T=6

 

3、f(-1)=1-1/f(1),f(-1)=(3-√5)/4,f(2^8+7)=f(263)=f(44*6-1)=f(-1)=(3-√5)/4

Answer 2

思路：
1、
f(x)=1-1/f(x+2),
f(x+2)=1/[1-f(x)]
所以f(2)=1/[1-f(0)]=1/(1-m)
f(4)=1/[1-f(2)]=1- 1/m
f(6)=1/[1-f(4)]=m
2、
f(x)=1- 1/f(x+2)= 1- 1/[1-1/f(x+4)]=1/[1-f(x+4)]
=1/{1-[1-1/f(x+6)]} =f(x+6)
所以，f(x)的一个周期为6，证明如上。
3、2^8 +7=256+7=44*6 -1
所以由2，可知f(x)的一个周期为6，
所以f(2^8+7)=f(44*6-1)=f(-1)=1-1/f(1)=1 -1/(√5 -1)=(3-√5)/4

Answer 3

f(2)=1/(1-m)
f(4)=(m-1)/m
f(6)=m 是利用循环代值
T=6
f(2^8+7）=（3-√5 ）/4利用周期T=6 f(1)=f(-1)