Question

已知函数y= 4cos2x+4 sinxcosx-2,(x∈R). (1)求函数的最小正周期;

20. （本小题12分）已知函数y= 4cos2x+4sinxcosx－2,（x∈R）。
（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值及其相对应的x值；
（3）写出函数的单调增区间；（4）写出函数的对称轴。

Answer 1

1、
y=4cos2x+4sinxcosx－2=4cos2x+2sin2x -2 =2√5sin(2x+t) -2,其中tant=2
所以最小正周期T=2π/2=π

还是y=4(cosx)^2+4sinxcosx－2=2cos2x+2 +2sin2x-2=2cos2x+2sin2x=2√2sin(2x+π/4) ??
最小正周期T=2π/2=π
如果是第一个理解的话，那么后续计算会有些麻烦，而第二种理解则会简单些，但是原理是一样的
以第二种理解为例
2、由1）可知y=2√2sin(2x+π/4)
所以当sin(2x+π/4)=1时，函数取最大值2√2，
此时2x+π/4=2kπ+π/2
解得 x=kπ +π/8
3、由y=sinx的单调增区间为【2kπ-π/2,2kπ+π/2】可知：
当2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2时，函数y=2√2sin(2x+π/4) 单调增加，
解2kπ-π/2≤2x+π/4≤2kπ+π/2得，kπ-3π/8≤2x+π/4≤kπ+π/8
，所以函数的单调增区间为[kπ-3π/8,kπ+π/8]
4、正弦函数的对称轴在取最值时取得
因此由sin(2x+π/4)=±1，可得2x+π/4=kπ+π/2
解得x=kπ/2 +π/8
因此函数的对称轴为x=kπ/2 +π/8，k为任意整数

Answer 2

..