Question

设函数f(x)=loga(1-a^x)a>0且a不等于1求f(x)的单调性，证明y=f(x)的图像关于直线y=x对称

Answer 1

1
设t=1-a^x,y=log(a)t
a>1时，a^x递增，t=1-a^x递减，y=log(a)t递增
∴f(x)=loga(1-a^x)为减函数
0<a<1时，a^x递减，t=1-a^x递增，y=log(a)t 递减
∴f(x)=loga(1-a^x)为减函数
综上，f(x)=loga(1-a^x)为减函数
2
可以证明f(x)是自反函数
y=log(a)(1-a^x)
a^y=1-a^x
a^x=1-a^y
两边取对数
x=log(a)(1-a^y)
x,y换位
∴原函数的反函数为
y=log(a)(1-a^x)
即原函数与反函数相同，自反函数
而原函数与反函数图像关于直线y=x对称
∴f(x)的图像关于直线y=x对称

Answer 2

1、减函数。
方法1：利用定义，设 x1<x2是定义域内的点，比较f(x1) ,f(x2)的大小。需要对a>1,0<a<1,分情况讨论，但是结果都是减函数。
如果是小题，例如a>1时，loga x , a^x 都是增函数，可以推断出原函数是减函数
方法二：利用导数
f'(x)=1/[(1-a^x)lna] *[-a^x *lna] =-(a^x)/(1-a^x) <0所以函数是减函数
（因为其中，a^x >0, 1-a^x>0）
2、y=loga(1-a^x)
则a^y=1-a^x
a^x=1-a^y
x=loga(1-a^y)
所以图像关于直线y=x对称

Answer 3

哇 我数学好差的 都忘记了