Question

高数--微分方程

已知某曲线，它的方程y=f(x)满足微分方程。yy''+(y')^2=1.并且与另一曲线y=e^-x相切于点(0,1)，求曲线的方程

Answer 1

对于简单的熟悉的微分方程，可以灵活求解：
由 yy''+(y')^2=(yy')'=1 可得yy'=x+C1 （*）
又该曲线与另一曲线y=e^-x相切于点(0,1)，有y(0)=1 y'(0)=-1
代入（*）得 ：-1=C1
所以，有：yy'=x-1
即 ydy=(x-1)dx
两边同时积分：(1/2)y^2=(1/2)x^2-x+C2
y^2=x^2-2x+2C2
y=√(x^2-2x+2C2) 【y=-√(x^2-2x+2C2)舍去，因为y(0)=1】
1=√(2C2)
C2=1/2
所以 y=√(x^2-2x+2C2)=√(x^2-2x+1)=|x-1|=1-x 【y=x-1舍去，因为y'(0)=-1】
故曲线的方程是 x+y-1=0
令一种就是常规解法了。 yy''+(y')^2=1 （缺x型）
令 y'=P(y)，y''= P(dP/dy) 代入求解即可！

Answer 2

yy''+(y')^2=1我不会解

如果yy''-(y')^2=1就好做了
yy''-(y')^2=1左右两边同时对x求导

y'y''+yy'''-2y'y''=0 即 yy'''=y'y'' 即 y'/y=y'''/y''，左右对x积分
lny=lny''+B 即 y''-y+C=0 特征根 r1=1, r2=-1
y=C1e^x+C2(e^-x)+C3
由 x=0 时 把y=1,y'=-1带入yy''-(y')^2=1, 解出y''=2
y=C1+C2+C3=1; y'=C1-C2=-1; y''=C1+C2=2
C1=1/2 C2=3/2 C3=-1
故y=1/2e^x+3/2(e^-x)-1或者y=cosh(x)-1/2sinh(x)-1

Answer 3

好像是令y'=p，则y''=p'
yp'+p^2=1，y(dp/dy)=1-p^2
变量分离，后面的不算了。。。