Question

已知抛物线y=x²-（k+1）x+k的顶点为M，它与x轴的两个交点为A、B

（1）若△MAB为等边三角形，求k的值
（2）若△MAB为直角三角形，求k的值
（3）若△MAB中角BAM=30°，求k的值

Answer 1

抛物线y=x2-(k+1)x+k与x轴交于A、B两点,与y轴交于C,抛物线顶点为D,当△ABD是Rt△时，则k=__-1或3__，当△ABD是等边三角形时，k=__2√3+1____

抛物线y=x^2-(k+1)x+k=(x-1)*(x-k)
它与x轴的两个交点为A(1,0)，B(k,0)，与y轴的交点为C(0,k)
顶点D((k+1)/2,-(k-1)^2/4)
已知△ABD为直角三角形，因为DA=DB
所以，∠ADB=90°
过点D作x轴的垂线，垂足为C
则点C为AB中点
那么，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到：
|-(k-1)^2/4|=(1/2)*|k-1|
===> |(k-1)^2|=2|k-1|
===> k=1（舍去，此时A、B点重合），或者k=-1，k=3

当△ABD为等边三角形时：同样地，点C为AB中点
那么，DC/AC=tan60°=√3
===> |-(k-1)^2/4|/|(k-1)/2|=√3
===> |(k-1)^2|=2√3|k-1|
===> k=2√3+1