Question

在三角形ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为2X-Y-1=0

B(0,-6),求三角形ABC三边所在的直线方程

Answer 1

在三角形ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为2X-Y-1=0，B(0,-6),求三角形ABC三边所在的直线方程。

解：已知BC边上的高：x-2y+1=0，即y=(1/2)x+1/2..........(1)；

∠A的平分线：2x-y-1=0，即y=2x-1............(2)；

顶点B(0，-6).

由(1)(2)联立求解得A(1，1)；故AB所在直线的斜率KAB=7，其方程为y=7x-6..........(3)

BC 与其边上的高垂直，故BC所在直线的斜率KBC=-2，其方程为y=-2x-6...............(4)

设AB到∠A的平分线的角为θ,则tanθ=(7-2)/(1+14)=5/15=1/3；

于是可设AC所在直线的斜率为k，那么∠A的平分线(2)到AC的夹角也是θ，故有等式：

(2-k)/(1+2k)=1/3，6-3k=1+2k，5k=5，故k=1；于是得AC所在直线的方程为y=x....(5)

即△ABC的三条边所在直线的方程为：

AB：7x-y-6=0

BC：2x+y+6=0

AC：x-y=0. 

Answer 2

因为BC边上的高、A角的平分线交于A点，
因此联立 x-2y+1=0 与 2x-y-1=0 可解得 A 点坐标为（1，1）。
而B坐标为（0，-6），因此由两点式可得直线AB的方程为 (y+6)/(1+6)=(x-0)/(1-0) ，
化简得 7x-y-6=0 。

因为BC与BC边上的高互相垂直，且BC边上的高的斜率为 1/2 ，
所以，直线BC的斜率为 -2 ，
因此由点斜式可得直线BC的方程为 y+6=-2*(x-0) ，化简得 2x+y+6=0 。

设B关于角A的平分线的对称点为D（a，b），则
BD与角A的平分线垂直，有 (b+6)/a=-1/2 ； （1）
B、D到角A的平分线距离相等，有 0+6-1=-(2a-b-1) ， （2）
由以上两式可解得 a=-4 ，b=-4 ，
而D在直线AC上，所以，由两点式可得直线AC的方程为 (y+4)/(1+4)=(x+4)/(1+4) ，
化简得 x-y=0 。