Question

已知函数f(x)=cos^4-2sinxcosx-sinx^4

(1)写出函数f(x)的单调递增区间
（2）求方程2f(x)+√3=0

Answer 1

f(x)=(cosx)^4-2sinxcosx-(sinx)^4=[(cosx)^2+(sinx)^2][(cosx)^2-(sinx)^2]-2sinxcosx
=(cosx)^2-(sinx)^2-2sinxcosx=cos2x-sin2x
=√2*(√2/2*cos2x-√2/2*sin2x)
=√2cos(2x+π/4) 。
1）由 π+2kπ<=2x+π/4<=2π+2kπ ，得
3π/8+kπ<=x<=7π/8+kπ ，
因此函数的单调递增区间是 [3π/8+kπ ，7π/8+kπ ] ，k∈Z 。

2）由已知得 f(x)=-√3/2 ，
即 cos2x-sin2x=-√3/2 ，
两边平方得 1-sin4x=3/4，
所以，sin4x=1/4 ，
则 x=1/4*arcsin(1/4)+2kπ 或 x=π-1/4*arcsin(1/4)+2kπ ，k∈Z 。

Answer 2

f(x)=(cos²x+sin²x)(cos²x-sin²x)-2sinxcosx
=1*cos2x-sin2x
=-(sin2x-cos2x)
=-√2sin(2x-π/4)

(1)2kPai+Pai/2<=2x-Pai/4<=2kPai+3Pai/2
即单调增减区间是[KP ai+3Pai/8,kPai+7Pai/8]
(2)-2根号2sin(2x-Pai/4)=-根号2.(把根号3改成根号2好做一些)
sin(2x-Pai/4)=1/2
2x-Pai/4=2kPai+Pai/6或5Pai/6
那么有X=KP ai+5Pai/24或13Pai/24

Answer 3

f(x)=[cos^4(x)-sin^4(x)]-sin2x
=[cos^2(x)+sin^2(x)][cos^2(x)-sin^2(x)]-sin2x
=cos2x-sin2x=√2cos(2x+π/4)
(1)
单调增区间是由不等式：
-π+2kπ≤2x+π/4≤2kπ 解得：
-3π/8+kπ≤x≤π/8+kπ
即：【-3π/8+kπ，π/8+kπ 】
（2）原方程可化为：
cos(2x+π/4)=-√6/4
2x+π/4=2π±arccos(-√6/4)
=2π±(π-arccos(√6/4))

Answer 4

解由f(x)=cos^4x-2sinxcosx-sin^4x
=cos^4x-sin^4x-2sinxcosx
=(cos^2x+sin^2x)(cos^2x-sin^2x)-2sinxcosx
=1*(cos^2x-sin^2x)-2sinxcosx
=cos2x-sin2x
=√2（√2/2cos2x-√2/2sin2x）
=√2cos（2x+π/4)
即（1）f(x)的最小正周期t=2π/2=π
（2）由x∈【0，π/2】时
即0≤x≤π/2
即0≤2x≤π
即π/4≤2x+π/4≤5/4π
即当2x+π/4=π时，f（x）有最小值-√2
即x=3/8π时，f（x）有最小值-√2
即f(x)的最小值为-√2以及取得最小值时x的集合｛x/x=3/8π｝。