Question

3道微积分的题目，麻烦高手帮忙

⑴ 2∫（下限是0，上限是正无穷大）*2x*e的（-2x）次方dx+3∫（下限是0，上限是正无穷大）*3x*e的（-3x）次方dx

⑵ ∫（下限是0，上限是2）dx*∫（下限是0，上限是2）*8分之1*xy*（x+y）*dy

⑶ ∫（下限是0，上限是正无穷大）*（∫（下限是0，上限是正无穷大）*xy*e的（-x-y）次方*dy）dx

麻烦请告知详细过程。谢谢。

Answer 1

将y的x次方表示为y^x。
（1）2∫2x*e^(-2x)dx=∫e^(-2x)*(-2x)d(-2x)，令u=-2x：2∫2x*e^(-2x)dx=∫ue^udu=∫ud(e^u)=ue^u-∫(e^u)du=ue^u-e^u+C=-2xe^(-2x)-e^(-2x)+C，其中C为任意常数。
上式则从0到正无穷的定积分值为1。同理，3∫（下限是0，上限是正无穷大）*3x*e的（-3x）次方dx 值也为1。
故原式=2。

后面两道题还没学多元积分，不好意思。