Question

如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合）

如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合）．在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于H，AD与BC交于P，BE与CD交于Q，连接PQ、CH．
（图形与旧版一样）只不过这回中间是竖杠，而不是横杠 问为啥HC平分∠AHE
（自己找图，我弄不出来） 求详解
请求各位大仙帮帮忙

Answer 1

解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形

∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°

∴∠ACD=∠BCE

∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE，故①正确；

由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，进而可求证△CQB≌△CPA，

∴AP=BQ，故③正确；

又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，

∴∠PQC=∠DCE=60°，

∴PQ∥AE②成立，

∵∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，

∴PD≠CD，

∴DE≠DP，故④DE=DP错误；

∵等边△ABC、等边△DCE，

∴∠ACB=∠CED，即BC∥DE，

同理可证AB∥CD，

即可得△BAE∽△QCE，△APC∽△ADE，

∴PC DE =AC AE ，CQ AB =CE AE ，

∵BC=CA，DE=CE，

∴CQ=CP，

又∵∠PCQ=180°-∠ACB-∠ECD=60°，

∴△PCQ为等边三角形，

∵PC=CQ，CD=CE，∠PCD=∠QCE，

∴△CDP≌△CEQ．故⑦△CDP≌△CEQ，正确；

∵BC∥DE，

∴∠CBE=∠BED，

∵∠CBE=∠DAE，

∴∠AHB=∠HAE+∠AEH=60°，故⑤正确；

同理可得出∠AHE=120°，∠HAC=∠HCD，

∴∠DCE=∠AHC=60°，

∴HC平分∠AHE，故⑥正确，

故正确的有①②③⑤⑥⑦共6个，

望采纳，谢谢 你要的证明在最后，但要先看懂前面的，题目我找到了

追问

菁优网 上的吧
我想知道为啥 ∠HAC=∠HCD 你就当做是一个应用题吧
帮忙！

Answer 2

对于△acd和△bce而言，∠acd=∠bce，ac=bc，dc=ce所以全等，所以c到ad的距离和c到be的距离相等，根据角平分线线上的点到角两边的距离相等的逆定理，可得，c在∠ahe的平分线上，得证

Answer 3

如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O．
（1）设AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有
①②③⑤
（把你认为正确的序号都填上）
（2）在你认为恒成立的结论中选一个加以证明．

解：①正确，∵△ABC与△DCE为等边三角形，
∴CD=CE，AC=BC，∠ACD=∠BCE=120°，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
②正确，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，
又∵∠BCD=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-60°=60°，
又∵△ACD≌△BCE，
∴∠DAE=∠CBE，
∴△ACP≌△BCQ，
∴PC=CQ，
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠QCE=60°
∴PQ∥AE．
③正确，
∵△PQC是等边三角形，
∴CQ=CP，
又∵∠ACP=∠BCQ，AC=BC，
∴△APC≌△BQC，
∴AP=BQ．
④错误，∵DC=DE，∠PCQ=∠CPQ=60°，
∴∠DPC＞60°，
∴DP≠DC，即DP≠DE．
⑤正确，
∵∠CAP=∠OBP，∠BAC=60°，
∴∠BAP+∠OBP=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴∠AOB=180°-（∠BAP+∠OBP）-∠BAC=60°．
故填①②③⑤．