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整数及其运算
分数及其运算
小数及其运算
计算方法
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小学数学总复习
第一部分：数的意义
1、自然数：用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5……叫做自然数。
自然数的单位是“1”，任何一个自然数都是由若干个“1”组成的，自然数的个数是无限的。
最小的自然数是0。自然数是整数的一部分。
2、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
两个整数相除的商也可以用分数来表示，即：a÷b＝ (b≠0)。
真分数：分子小于分母的分数叫做真分数。（如： ）
分数可以分为
假分数：分子大于或等于分母的分数叫做假分数。（如：）
3、小数：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……表示其中的一份或几份的分数改成不带分母形式的数。 叫做小数。
有限小数：小数部分的位数是有限的。（如：3.125，0.45687）
小数按小数部分分为：
无限小数：小数部分的位数是无限的。
无限不循环小数：（如：……
无限小数分为：
循环小数：一个小数，从某一位起一个数字或几个数字
依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。（如：2.231231231…… ，0.2787878……）
判断分数能否化成有限小数的方法：
把最简分数的分母分解质因数，在质因数中只有2和5两个因数组成的就能化成有限小数。（如：的分母8分解质因数是2×2×2中，只有2，所以能化成有限小数。有如：中的分母20分解质因数是2×2×5中，只用2和5，也能化成有限小数。有如：中的分母15分解质因数是3×5中，不是2和5而是3和5，所以不能化成有限小数。）
纯小数：整数部分是0的小数叫做纯小数。纯小数都小于1。（0.3，0.154，0.27878……）
小数按整数部分分为：
带小数：整数部分不是0的小数叫做带小数。带小数都大于1。（1.256，2.4765，3.212121……）
4、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分率或百分比。百分数通常用“％”来表示
成数：“几成”就是“十分之几”。如：六成＝＝60％ ，三成五＝35％
折扣：“几折”就是原价的百分之几十，如：五折＝50%，七八折＝78%。
注意：百分数是一种特殊的分数，它只能表示分率，而不能表示数量，因此，在百分数的后面不能带上计算单位。
5、整数和小数的数位表：
整数部分 小数点 小数部分 … 亿级万级 个级 位数
… 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位个位 十分位百分位 千分位万分位… 计数单位
千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千百 十 个
十分之一 百分之一 千分之一 万分之一
6、除法、分数、小数、比的基本性质。
基本性质 应用 除法
被除数和除数同乘或同除以同一个数（0除外），商不变。
计算小数除法和一些简便计算
分数
分数的分子和分母都同乘或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
分数的约分和通分
小数
小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。
把小数化简 如：0.3400
比
比的前项和后项都乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
化成最简单的整数比
7小数、分数、百分数的互化。
第二部分：数的整除
1、基本概念：
（1）整除：整数a除以整数b()，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a。
整除是除尽的一种特殊情况。整除与除尽的关系如图：
（2）约数和倍数：如果数a能被数b()整除，我们就说，a是b的倍数，
b是a的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
(如：15最小的约数是1，最大的约数是15。)
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（如：31最小的倍数是31，没有最大的倍数。）
（3）能被2、3、5整除的数的特征：（用在约分中最明显）
能被2整除的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。（如302）
能被3整除的特征是：把各位上的数字加起来能被3整除。
（如：324 3＋2＋4＝9能被3整除）
能被5整除的特征是：个位上是0或5的数。（如：15、105、230）
在约分时的应用： 观察分子分母的个位就很快知道能被2整除。
观察分子分母就知道这些数同时能被2、3整除。
观察分子分母可以知道能同时被3、5整除。
（4）奇数和偶数，质数和合数，质因数和分解质因数
偶数：在自然数中，能被2整除的数。（如：12、110等）
奇数：在自然数中，不能被2整除的数。（如：11、45等） 自然数
质数：一个大于1的数只有1和它本身两个约数的，这样的数叫质数。（如：31）
20以内的支数有：2、3、5、7、11、13、17、19。其中最小的质数是2。
合数：一个数除了1和它本身外，还有别的约数的，这样的数叫做合数。（如：25、30）
最小的合数是4。
1既不是质数也不是合数。
自然数
质因数：每个合数都能写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数。叫做这个合数的质因数。（如：18＝2x3x3）
分解质因数：把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（5）最大公约数和最小公倍数，互质数
最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。（如：5和7）
判断互质数的两种简单方法：
①两个数都是质数的一定是互质数。（如3和11是互质数）
②两个数是相邻的两个自然数一定是互质数。（8和9）
（6）求最大公约数和最小公倍数的两种特殊的情况。
如果两个数是互质数，那么这两个数的最大公约数是1，最小公倍数是他们的乘积。
如果两个数中的大数是小数的倍数，那么较小的数是这两个数的最大公约数；较大的数是这两个数的最小公倍数。
（如：7和11，2和17，5和7，8和9他们是互质数，所以最大公约数是1，最小公倍数是他们的乘积。
7和14，15和45，25和75他们就是倍数关系，所以最大公约数是较小的数，最小公倍数是较大的数。）
（7）求最大公约数和最小公倍数的方法：用短除法
第三部分、数的运算
1、四则混合运算的顺序：
加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。
在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算。如果含有两级运算，要先算第二级运算，在算第一级运算。（先乘除后加减）
在右括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后算括号外面。
2、运算定律和性质：
定律或性质
举例
加法
加法交换律：a+b = b+a
加法结合律：（a+b）+c = a+(b+c)
42+56=56+12
42+79+58=79+(42+58)
减法
减法的性质：a—b—c = a—(b+c)
或：a—(b+c) = a—b—c
8.29—3.6—6.7=8.29—(3.6+6.7)
13.42—(3.42+5.98)=13.42—3.42—5.98
乘法
乘法交换律：ab = ba
乘法结合律：(ab) c = a (bc)
乘法分配律：(a+b)c = ac+ac
4325=2543
865125=65(1258)
除法
除法性质：abc=a(bc)
326254=326(254)
第四部分：代数的初步认识
1、简易方程：
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。（如：是方程，而3+25不是方程，5+36>100也不是方程。）
（2）解答方程的方法：有六种形式。
A、一个加数＝和－另一个加数
B、被减数＝差＋减数
C、减数＝被减数－差
D、一个因数＝积÷另一个因数
E、被除数＝商×除数
F、除数＝被除数÷商
2、比和比例
（1）比和比例的意义和性质。
比
比例
意义各部分名称
两个数相除又叫做两个数的比
6 ： 5＝ 1.2
前项 比号 后项 比值
表示两个比相等的式子叫做比例。
6 ： 5 ＝ 12 ： 10
内项
外项
基 本 性 质
比的前项和后项都乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
应用
化成最简单的整数比
组比例，解比例。
（2）比、分数、除法的联系和区别
联系
区别
比 前项 比号 后项 比值
表示两个数的倍数关系
分数 分子 分数线分母 分数值 是一个数
除法 被除数 除号 除数 商 是一种运算
(3)求比例和化简比的区别：
一般方法 结果
求比例
根据比值的意义，用前项除以后项。
是一个商
化简比
根据比的基本性质，把比化简成最简单的整数比。（方法是：整数比时，同时除以最大公约数。分数比时，前项和后项同时乘以最小公倍数，小数比时，同时乘以相同的倍数变为整数，再化。）
是一个比
(3)比例尺：
比例尺的表示形式：数字比例尺 如： 或
线段比例尺 如0 20 40 60 80km
比例尺应用题的解答方法：（注意：单位要一致，一般用“厘米”单位计算）
（1）求比例尺
（2）求图上距离
图上距离＝实际距离×比例尺
（3）求实际距离
实际距离＝图上距离÷比例尺
(4)按比分配：
解答按比例分配的应用题的一般步骤：
（1）先求出总份数。（各项比相加之和）
（2）写出各部分量占总量的几分之几。（以总份数为分母，各部分比为分子）
（3）求各部分量是多少。（用总量分别乘以几分之几）
（5）正比例和反比例：
解答正反比例应用题的一般方法是：
（1）认真读题，找出题中两种相关联的量。
（2）列出两种量的关系式，判断成什么比例。（商一定的成正比例，积一定的成反比例）
（3）根据关系式列出方程。
（4）解答并检验。
第五部分、量的计量
1、常用的计量单位及其进率。
（1）长度、面积、体积单位：
长度单位
面积单位
体积单位（容积单位）
千米 米 分米 厘米 毫米
平方千米 公顷 平方米 平方分米 平方厘米
立方米 立方分米(升) 立方厘米(毫升)
（2）重量单位：
吨 千克 克
1吨＝1000千克 1千克＝1000克
（3）时间单位
名称
进率
世纪
1世纪＝100年
年
1一年有12个月。平年有365天，闰年有366天。
月
平年2月有28天；闰年有2月29天
大月（1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月）有31天；
小月（4月、6月、9月、11月）有30天。
日
1时＝24小时
时
1小时＝60分
分
1分＝60秒
秒
2、平年、闰年的判断方法：
一般平年用“年份÷4”能整除的年份是闰年，不能整除的是平年。
整百年的年份要用“年份÷400”，能整除的年份是闰年，不能整除的是平年。
3、计量单位的化聚和计算。
（化）×进率
高级单位的名数 低级单位的名数
（聚）÷进率
第六部分、几何初步认识
1、线：
用图形表示
特征
直线
没有端点
射线
有一个端点
线段
有两个端点
垂线
垂足
两直线相交成直角
平行线
两直线在同一平面内，两直线不相交。
2、角
名称 锐角 直角 钝角 平角 ※周角
图形
角的范围
大于00而小于900
等于900
大于900而小于1800
等于1800
等于3600
3、三角形
按角分类
按边分类
名称
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
等腰三角形
等边三角形
图形
特征
三个角都是锐角
其中一个角是直角
其中一个角是钝角
两条边相等。两个底角相等。
三条边都相等，三个角都是600
4、四边形
5、圆形
（1）一个圆有无数条半径，无数条直径。
在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。直径是半径的2倍。
（2）圆的周长和直径的比值，叫做圆周率。用字母表示，圆周率是一个固定的无限不循环小数，通常取值3.14。
6、平面图形的面积
（1）围成一个图形所有的边长的总和叫做这个图形的周长。
（2）物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做他们的面积。
（3）各种平面图形的周长、面积。
图形
周长
面积
长方形的周长＝（长×宽）÷2 c＝（a+b）×2
长方形的面积＝长×宽 s＝ab
正方形的周长＝边长×4
c＝4a
长方形的面积＝边长×边长 s＝a2
平行四边形的面积＝底×高
s＝ah
三角形的面积＝底×高÷2
s＝ah÷2
梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2
s＝(a+b) h÷2
圆的周长＝圆周率×直径
c＝d或c＝2r
s＝
7、立体图形
（1）常见的立体图形有：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体
每个面都是平面的——长方体、正方体
分类：
有一个面是曲面的——圆柱体、圆锥体、球体
（2）长方体与正方体的特征
形状
相同点
不同点
关系
面
棱
顶点
面和形状
面的大小
棱长
正方体是一种特殊的长方体
长方体长方体 6个 12条 8个
6个面一般都是长方形（也可能有相对的两个面是正方形
相对的面面积相等
每一组互相平行的四条棱长长度相等。
正方体 6个 12条 8个
6个面都是正方形
6个面的面积相等
12条棱的长度都相等。
（3）圆柱和圆锥的特征
形状
基本特点
圆柱
圆柱有三个面：
上下两个平面叫做底面，它们是两个面积相等的圆。上下底面之间的曲面叫做侧面。
两底面之间的距离叫做圆柱的高。
圆锥
圆锥有两个面：
圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心之间的距离叫做圆锥的高。
（4）表面积和体积
表面积：一个立体图形所有面的面积总和，叫做它的表面积。
体积：一个立体图形所占空间的大小叫做它的体积。
容积：一个容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。
（5）各种立体图形的表面积和体积计算公式
名称
表面积
体积
长方体
长方体的表面积 ＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
s＝(ab+ah+bh) ×2
长方体的体积 ＝长×宽×高
v＝abh
直柱体的体积 ＝底面积×高
正方体
正方体表面积＝棱长×棱长×6 s＝6a2
正方体的体积 ＝棱长×棱长×棱长 v＝a3
圆柱体
圆柱表面积＝侧面积＋两个底面积
圆锥体积＝底面积×高
圆锥体 圆锥的体积 ＝×底面积×高
第七部分、简单的统计知识
（1）统计图分为：条形统计图、折线统计图和扇形统计图。
（2）各统计图的特点
条形统计图：很容易看出各种数量的多少。
折线统计图：不但很容易看出各种数量的多少，而且还能反映出数量的增减变化情况。
第八部分、常见的基本数量关系式
1、部分数+部分数＝总数 2、较小数+相差数＝较大数
总数－部分数＝部分数 较大数－较小数＝相差数
较大数－相差数＝较小数
另外：“多”可以有时根据具体情况说成“贵”、“超产”、“超过”等等；“少”说成“便宜”、“减产”、“节约”等等。
3、每份数（平均数）×份数＝总数
总数÷每份数（平均数）＝份数
总数÷份数＝每份数（平均数）
有关“每份数（平均数）、份数、总数”之间的数量关系根据题目的具体情况又有具体的说法。如：
（1）行程问题：
速度×时间＝路程（一定） 《成反比例》
路程÷速度＝时间（一定） 《成正比例》
路程÷时间＝速度（一定） 《成正比例》
（2）相遇问题：
速度和×相遇时间＝路程（一定） 《成反比例》
路程÷相遇时间＝速度和（一定） 《成正比例》
路程÷速度和＝相遇时间（一定） 《成正比例》
往返的总路程÷往返的总时间＝往返的平均速度
（3）售价问题：
单价×数量＝总价（一定） 《成反比例》
总价÷单价＝数量（一定） 《成正比例》
总价÷数量＝单价（一定） 《成正比例》
（4）农业生产问题：
单产量×数量＝总产量（一定） 《成反比例》
总产量÷数量＝单产量（一定） 《成正比例》
总产量÷单产量＝数量（一定） 《成正比例》
（5）工作量问题：
工作效率×工作时间＝工作总量（一定） 《成反比例》
工作总量÷工作时间＝工作效率（一定） 《成正比例》
工作总量÷工作效率＝工作时间（一定） 《成正比例》
4、一倍数×倍数＝几倍数
几倍数÷倍数＝一倍数
几倍数÷一倍数＝倍数
5、解答分数（百分数）应用题的一般方法：
（1）求分率
谁的分率＝谁的数量÷单位“1”的量。
（2）求数量
谁的数量＝单位“1”的量×谁的分率。
（3）求单位“1”（重点）
单位“1”的量＝谁的数量÷谁的分率。
6、求分率（题目问题是：几分之几，百分之几）应用题及文字题的方法:
（1）甲是乙的几分之几？
甲是乙的几倍？
甲是乙的百分之几？
方法：先把“是”字改为“÷”，然后甲÷乙
（2）甲比乙多几分之几（百分之几）？
甲比乙少几分之几（百分之几）?
方法：（大－小）÷比字后面的数。
第九部分、补充知识
1、常见的小数、分数、百分数的互化。
分数
小数
0.5 0.25 0.75 0.2 0.4 0.6 0.8 0.125 0.375 0.625 0.875 0.10.05 0.04
百分数 50% 25% 75% 20% 40% 60% 80% 12.5% 37.5% 62.5% 87.5% 10% 5% 4%
2、1～10的平方值
12＝1 22＝4 32＝9 42＝16 52＝25 62＝36 72＝49 82＝64 92＝81 102＝100
3、1～10的立方值 13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=51293=729 103=1000
4常见的值。
5、有关1和0的运算
a+0＝a 0+a＝a a－0＝a a－a＝0 a×1＝a 1×a＝a 0×a＝0
a×0＝0 a÷1＝a 1÷a＝(a) a÷a＝1(a) 0÷a＝0(a)
6、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子和分母调换位置就可以了。
7、一些特殊的正反比例的关系。
（1）圆的直径与半径成正比例 ()
圆的周长与直径（或半径）成正比例 ()
圆的面积与半径（或直径、周长）不成比例
（2）正方体的表面积与底面积成正比例。()
正方体的棱的总和与棱长成正比例。（棱的总和÷棱长＝12）
正方体的体积与底面积不成比例。 ()
（3）正方形的边长与周长成正比例。（）
正方形的面积与边长不成比例。（）
长方形的周长一定，长（宽）与周长不成比例
（4）铺地的面积一定，方砖的面积与块数成反比例。（每份数×份数＝总数（一定））
铺地的面积一定，方砖的边长与块数不成比例。
（5）订阅《少先队员》的份数和钱数成正比例。（总价÷数量＝单价（一定））
（6）工作时间一定，做每个零件的时间与所做的零件个数成正比例。
（工作总量÷工作效率＝工作时间（一定））
（7）如果两个数互为倒数，那么这两个数成反比例。
8、一些主要的运算法则
（1）整数加减法的法则：数位对齐。
（2）小数加减法的法则：小数点对齐。
（3）整数小数乘法法则：末位对齐。
（4）同分母分数加减法法则：把分子相加减，分母不变。
（5）异分母分数加减法法则：先通分，然后按照同分母加减法进行计算。
（6）分数乘法的法则：用分子乘以分子得分子，分母乘以分母的分母。
（7）分数除法的法则：甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘以乙数的倒数。
（8）带分数乘法法则：先把带分数化成假分数，然后再按分数乘法进行计算。
重点公式
1、长方形周长＝（长＋宽）×2 长方形面积＝长×宽
2、正方形周长＝边长×4 正方形面积＝边长×边长
3、三角形面积＝底×高÷2
4、平行四边形面积＝底×高 5、梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2
6、长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2
7、长方体体积＝长×宽×高 （或者：底面积×高）
8、正方体的表面积＝棱长×棱长×6
9、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长（或者：底面积×高）
10、圆的面积＝圆周率×半径×半径 （）
11、圆的周长＝圆周率×直径 或 2×圆周率×半径 （）
12、已知圆的直径（d），求半径。半径＝直径÷2（）
13、已知圆的周长（c），求半径。半径＝周长÷2÷3.14 （）
14、圆柱的表面积：（分三步进行计算）
①圆柱侧面积＝底面周长×高 （）
已知圆柱底面直径（d）： （）
已知圆柱底面半径（r）： （）
②底面积： （）
③表面积＝侧面积＋两个底面积 （）
15、圆柱的体积＝底面积（圆面积）×高 （）（）
16、圆锥的体积＝×底面积（圆面积）×高 （）（）
17、环形面积＝外圆面积（大圆）－内圆面积（小圆）
第一部分：数的意义
1、自然数：用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5……叫做自然数。
自然数的单位是“1”，任何一个自然数都是由若干个“1”组成的，自然数的个数是无限的。
最小的自然数是0。自然数是整数的一部分。
2、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
两个整数相除的商也可以用分数来表示，即：a÷b＝ (b≠0)。
真分数：分子小于分母的分数叫做真分数。（如： ）
分数可以分为
假分数：分子大于或等于分母的分数叫做假分数。（如：）
3、小数：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……表示其中的一份或几份的分数改成不带分母形式的数。 叫做小数。
有限小数：小数部分的位数是有限的。（如：3.125，0.45687）
小数按小数部分分为：
无限小数：小数部分的位数是无限的。
无限不循环小数：（如：……
无限小数分为：
循环小数：一个小数，从某一位起一个数字或几个数字
依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。（如：2.231231231…… ，0.2787878……）
判断分数能否化成有限小数的方法：
把最简分数的分母分解质因数，在质因数中只有2和5两个因数组成的就能化成有限小数。（如：的分母8分解质因数是2×2×2中，只有2，所以能化成有限小数。有如：中的分母20分解质因数是2×2×5中，只用2和5，也能化成有限小数。有如：中的分母15分解质因数是3×5中，不是2和5而是3和5，所以不能化成有限小数。）
纯小数：整数部分是0的小数叫做纯小数。纯小数都小于1。（0.3，0.154，0.27878……）
小数按整数部分分为：
带小数：整数部分不是0的小数叫做带小数。带小数都大于1。（1.256，2.4765，3.212121……）
4、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分率或百分比。百分数通常用“％”来表示
成数：“几成”就是“十分之几”。如：六成＝＝60％ ，三成五＝35％
折扣：“几折”就是原价的百分之几十，如：五折＝50%，七八折＝78%。
注意：百分数是一种特殊的分数，它只能表示分率，而不能表示数量，因此，在百分数的后面不能带上计算单位。
5、整数和小数的数位表：
整数部分 小数点 小数部分 … 亿级万级 个级 位数
… 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位个位 十分位百分位 千分位万分位… 计数单位
千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千百 十 个
十分之一 百分之一 千分之一 万分之一
6、除法、分数、小数、比的基本性质。
基本性质 应用 除法
被除数和除数同乘或同除以同一个数（0除外），商不变。
计算小数除法和一些简便计算
分数
分数的分子和分母都同乘或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。
分数的约分和通分
小数
小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。
把小数化简 如：0.3400
比
比的前项和后项都乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
化成最简单的整数比
7小数、分数、百分数的互化。
第二部分：数的整除
1、基本概念：
（1）整除：整数a除以整数b()，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a。
整除是除尽的一种特殊情况。整除与除尽的关系如图：
（2）约数和倍数：如果数a能被数b()整除，我们就说，a是b的倍数，
b是a的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
(如：15最小的约数是1，最大的约数是15。)
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（如：31最小的倍数是31，没有最大的倍数。）
（3）能被2、3、5整除的数的特征：（用在约分中最明显）
能被2整除的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。（如302）
能被3整除的特征是：把各位上的数字加起来能被3整除。
（如：324 3＋2＋4＝9能被3整除）
能被5整除的特征是：个位上是0或5的数。（如：15、105、230）
在约分时的应用： 观察分子分母的个位就很快知道能被2整除。
观察分子分母就知道这些数同时能被2、3整除。
观察分子分母可以知道能同时被3、5整除。
（4）奇数和偶数，质数和合数，质因数和分解质因数
偶数：在自然数中，能被2整除的数。（如：12、110等）
奇数：在自然数中，不能被2整除的数。（如：11、45等） 自然数
质数：一个大于1的数只有1和它本身两个约数的，这样的数叫质数。（如：31）
20以内的支数有：2、3、5、7、11、13、17、19。其中最小的质数是2。
合数：一个数除了1和它本身外，还有别的约数的，这样的数叫做合数。（如：25、30）
最小的合数是4。
1既不是质数也不是合数。
自然数
质因数：每个合数都能写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数。叫做这个合数的质因数。（如：18＝2x3x3）
分解质因数：把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
（5）最大公约数和最小公倍数，互质数
最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
互质数：公约数只有1的两个数叫做互质数。（如：5和7）
判断互质数的两种简单方法：
①两个数都是质数的一定是互质数。（如3和11是互质数）
②两个数是相邻的两个自然数一定是互质数。（8和9）
（6）求最大公约数和最小公倍数的两种特殊的情况。
如果两个数是互质数，那么这两个数的最大公约数是1，最小公倍数是他们的乘积。
如果两个数中的大数是小数的倍数，那么较小的数是这两个数的最大公约数；较大的数是这两个数的最小公倍数。
（如：7和11，2和17，5和7，8和9他们是互质数，所以最大公约数是1，最小公倍数是他们的乘积。
7和14，15和45，25和75他们就是倍数关系，所以最大公约数是较小的数，最小公倍数是较大的数。）
（7）求最大公约数和最小公倍数的方法：用短除法
第三部分、数的运算
1、四则混合运算的顺序：
加法和减法叫做第一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。
在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算。如果含有两级运算，要先算第二级运算，在算第一级运算。（先乘除后加减）
在右括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后算括号外面。
2、运算定律和性质：
定律或性质
举例
加法
加法交换律：a+b = b+a
加法结合律：（a+b）+c = a+(b+c)
42+56=56+12
42+79+58=79+(42+58)
减法
减法的性质：a—b—c = a—(b+c)
或：a—(b+c) = a—b—c
8.29—3.6—6.7=8.29—(3.6+6.7)
13.42—(3.42+5.98)=13.42—3.42—5.98
乘法
乘法交换律：ab = ba
乘法结合律：(ab) c = a (bc)
乘法分配律：(a+b)c = ac+ac
4325=2543
865125=65(1258)
除法
除法性质：abc=a(bc)
326254=326(254)
第四部分：代数的初步认识
1、简易方程：
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程。（如：是方程，而3+25不是方程，5+36>100也不是方程。）
（2）解答方程的方法：有六种形式。
A、一个加数＝和－另一个加数
B、被减数＝差＋减数
C、减数＝被减数－差
D、一个因数＝积÷另一个因数
E、被除数＝商×除数
F、除数＝被除数÷商
2、比和比例
（1）比和比例的意义和性质。
比
比例
意义各部分名称
两个数相除又叫做两个数的比
6 ： 5＝ 1.2
前项 比号 后项 比值
表示两个比相等的式子叫做比例。
6 ： 5 ＝ 12 ： 10
内项
外项
基 本 性 质
比的前项和后项都乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。
应用
化成最简单的整数比
组比例，解比例。
（2）比、分数、除法的联系和区别
联系
区别
比 前项 比号 后项 比值
表示两个数的倍数关系
分数 分子 分数线分母 分数值 是一个数
除法 被除数 除号 除数 商 是一种运算
(3)求比例和化简比的区别：
一般方法 结果
求比例
根据比值的意义，用前项除以后项。
是一个商
化简比
根据比的基本性质，把比化简成最简单的整数比。（方法是：整数比时，同时除以最大公约数。分数比时，前项和后项同时乘以最小公倍数，小数比时，同时乘以相同的倍数变为整数，再化。）
是一个比
(3)比例尺：
比例尺的表示形式：数字比例尺 如： 或
线段比例尺 如0 20 40 60 80km
比例尺应用题的解答方法：（注意：单位要一致，一般用“厘米”单位计算）
（1）求比例尺
（2）求图上距离
图上距离＝实际距离×比例尺
（3）求实际距离
实际距离＝图上距离÷比例尺
(4)按比分配：
解答按比例分配的应用题的一般步骤：
（1）先求出总份数。（各项比相加之和）
（2）写出各部分量占总量的几分之几。（以总份数为分母，各部分比为分子）
（3）求各部分量是多少。（用总量分别乘以几分之几）
（5）正比例和反比例：
解答正反比例应用题的一般方法是：
（1）认真读题，找出题中两种相关联的量。
（2）列出两种量的关系式，判断成什么比例。（商一定的成正比例，积一定的成反比例）
（3）根据关系式列出方程。
（4）解答并检验。
第五部分、量的计量
1、常用的计量单位及其进率。
（1）长度、面积、体积单位：
长度单位
面积单位
体积单位（容积单位）
千米 米 分米 厘米 毫米
平方千米 公顷 平方米 平方分米 平方厘米
立方米 立方分米(升) 立方厘米(毫升)
（2）重量单位：
吨 千克 克
1吨＝1000千克 1千克＝1000克
（3）时间单位
名称
进率
世纪
1世纪＝100年
年
1一年有12个月。平年有365天，闰年有366天。
月
平年2月有28天；闰年有2月29天
大月（1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月）有31天；
小月（4月、6月、9月、11月）有30天。
日
1时＝24小时
时
1小时＝60分
分
1分＝60秒
秒
2、平年、闰年的判断方法：
一般平年用“年份÷4”能整除的年份是闰年，不能整除的是平年。
整百年的年份要用“年份÷400”，能整除的年份是闰年，不能整除的是平年。
3、计量单位的化聚和计算。
（化）×进率
高级单位的名数 低级单位的名数
（聚）÷进率
第六部分、几何初步认识
1、线：
用图形表示
特征
直线
没有端点
射线
有一个端点
线段
有两个端点
垂线
垂足
两直线相交成直角
平行线
两直线在同一平面内，两直线不相交。
2、角
名称 锐角 直角 钝角 平角 ※周角
图形
角的范围
大于00而小于900
等于900
大于900而小于1800
等于1800
等于3600
3、三角形
按角分类
按边分类
名称
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
等腰三角形
等边三角形
图形
特征
三个角都是锐角
其中一个角是直角
其中一个角是钝角
两条边相等。两个底角相等。
三条边都相等，三个角都是600
4、四边形
5、圆形
（1）一个圆有无数条半径，无数条直径。
在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。直径是半径的2倍。
（2）圆的周长和直径的比值，叫做圆周率。用字母表示，圆周率是一个固定的无限不循环小数，通常取值3.14。
6、平面图形的面积
（1）围成一个图形所有的边长的总和叫做这个图形的周长。
（2）物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做他们的面积。
（3）各种平面图形的周长、面积。
图形
周长
面积
长方形的周长＝（长×宽）÷2 c＝（a+b）×2
长方形的面积＝长×宽 s＝ab
正方形的周长＝边长×4
c＝4a
长方形的面积＝边长×边长 s＝a2
平行四边形的面积＝底×高
s＝ah
三角形的面积＝底×高÷2
s＝ah÷2
梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2
s＝(a+b) h÷2
圆的周长＝圆周率×直径
c＝d或c＝2r
s＝
7、立体图形
（1）常见的立体图形有：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、球体
每个面都是平面的——长方体、正方体
分类：
有一个面是曲面的——圆柱体、圆锥体、球体
（2）长方体与正方体的特征
形状
相同点
不同点
关系
面
棱
顶点
面和形状
面的大小
棱长
正方体是一种特殊的长方体
长方体长方体 6个 12条 8个
6个面一般都是长方形（也可能有相对的两个面是正方形
相对的面面积相等
每一组互相平行的四条棱长长度相等。
正方体 6个 12条 8个
6个面都是正方形
6个面的面积相等
12条棱的长度都相等。
（3）圆柱和圆锥的特征
形状
基本特点
圆柱
圆柱有三个面：
上下两个平面叫做底面，它们是两个面积相等的圆。上下底面之间的曲面叫做侧面。
两底面之间的距离叫做圆柱的高。
圆锥
圆锥有两个面：
圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。
从圆锥的顶点到底面圆心之间的距离叫做圆锥的高。
（4）表面积和体积
表面积：一个立体图形所有面的面积总和，叫做它的表面积。
体积：一个立体图形所占空间的大小叫做它的体积。
容积：一个容器所能容纳物体的体积叫做容器的容积。
（5）各种立体图形的表面积和体积计算公式
名称
表面积
体积
长方体
长方体的表面积 ＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
s＝(ab+ah+bh) ×2
长方体的体积 ＝长×宽×高
v＝abh
直柱体的体积 ＝底面积×高
正方体
正方体表面积＝棱长×棱长×6 s＝6a2
正方体的体积 ＝棱长×棱长×棱长 v＝a3
圆柱体
圆柱表面积＝侧面积＋两个底面积
圆锥体积＝底面积×高
圆锥体 圆锥的体积 ＝×底面积×高
第七部分、简单的统计知识
（1）统计图分为：条形统计图、折线统计图和扇形统计图。
（2）各统计图的特点
条形统计图：很容易看出各种数量的多少。
折线统计图：不但很容易看出各种数量的多少，而且还能反映出数量的增减变化情况。
第八部分、常见的基本数量关系式
1、部分数+部分数＝总数 2、较小数+相差数＝较大数
总数－部分数＝部分数 较大数－较小数＝相差数
较大数－相差数＝较小数
另外：“多”可以有时根据具体情况说成“贵”、“超产”、“超过”等等；“少”说成“便宜”、“减产”、“节约”等等。
3、每份数（平均数）×份数＝总数
总数÷每份数（平均数）＝份数
总数÷份数＝每份数（平均数）
有关“每份数（平均数）、份数、总数”之间的数量关系根据题目的具体情况又有具体的说法。如：
（1）行程问题：
速度×时间＝路程（一定） 《成反比例》
路程÷速度＝时间（一定） 《成正比例》
路程÷时间＝速度（一定） 《成正比例》
（2）相遇问题：
速度和×相遇时间＝路程（一定） 《成反比例》
路程÷相遇时间＝速度和（一定） 《成正比例》
路程÷速度和＝相遇时间（一定） 《成正比例》
往返的总路程÷往返的总时间＝往返的平均速度
（3）售价问题：
单价×数量＝总价（一定） 《成反比例》
总价÷单价＝数量（一定） 《成正比例》
总价÷数量＝单价（一定） 《成正比例》
（4）农业生产问题：
单产量×数量＝总产量（一定） 《成反比例》
总产量÷数量＝单产量（一定） 《成正比例》
总产量÷单产量＝数量（一定） 《成正比例》
（5）工作量问题：
工作效率×工作时间＝工作总量（一定） 《成反比例》
工作总量÷工作时间＝工作效率（一定） 《成正比例》
工作总量÷工作效率＝工作时间（一定） 《成正比例》
4、一倍数×倍数＝几倍数
几倍数÷倍数＝一倍数
几倍数÷一倍数＝倍数
5、解答分数（百分数）应用题的一般方法：
（1）求分率
谁的分率＝谁的数量÷单位“1”的量。
（2）求数量
谁的数量＝单位“1”的量×谁的分率。
（3）求单位“1”（重点）
单位“1”的量＝谁的数量÷谁的分率。
6、求分率（题目问题是：几分之几，百分之几）应用题及文字题的方法:
（1）甲是乙的几分之几？
甲是乙的几倍？
甲是乙的百分之几？
方法：先把“是”字改为“÷”，然后甲÷乙
（2）甲比乙多几分之几（百分之几）？
甲比乙少几分之几（百分之几）?
方法：（大－小）÷比字后面的数。
第九部分、补充知识
1、常见的小数、分数、百分数的互化。
分数
小数
0.5 0.25 0.75 0.2 0.4 0.6 0.8 0.125 0.375 0.625 0.875 0.10.05 0.04
百分数 50% 25% 75% 20% 40% 60% 80% 12.5% 37.5% 62.5% 87.5% 10% 5% 4%
2、1～10的平方值
12＝1 22＝4 32＝9 42＝16 52＝25 62＝36 72＝49 82＝64 92＝81 102＝100
3、1～10的立方值 13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=51293=729 103=1000
4常见的值。
5、有关1和0的运算
a+0＝a 0+a＝a a－0＝a a－a＝0 a×1＝a 1×a＝a 0×a＝0
a×0＝0 a÷1＝a 1÷a＝(a) a÷a＝1(a) 0÷a＝0(a)
6、倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子和分母调换位置就可以了。
7、一些特殊的正反比例的关系。
（1）圆的直径与半径成正比例 ()
圆的周长与直径（或半径）成正比例 ()
圆的面积与半径（或直径、周长）不成比例
（2）正方体的表面积与底面积成正比例。()
正方体的棱的总和与棱长成正比例。（棱的总和÷棱长＝12）
正方体的体积与底面积不成比例。 ()
（3）正方形的边长与周长成正比例。（）
正方形的面积与边长不成比例。（）
长方形的周长一定，长（宽）与周长不成比例
（4）铺地的面积一定，方砖的面积与块数成反比例。（每份数×份数＝总数（一定））
铺地的面积一定，方砖的边长与块数不成比例。
（5）订阅《少先队员》的份数和钱数成正比例。（总价÷数量＝单价（一定））
（6）工作时间一定，做每个零件的时间与所做的零件个数成正比例。
（工作总量÷工作效率＝工作时间（一定））
（7）如果两个数互为倒数，那么这两个数成反比例。
8、一些主要的运算法则
（1）整数加减法的法则：数位对齐。
（2）小数加减法的法则：小数点对齐。
（3）整数小数乘法法则：末位对齐。
（4）同分母分数加减法法则：把分子相加减，分母不变。
（5）异分母分数加减法法则：先通分，然后按照同分母加减法进行计算。
（6）分数乘法的法则：用分子乘以分子得分子，分母乘以分母的分母。
（7）分数除法的法则：甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘以乙数的倒数。
（8）带分数乘法法则：先把带分数化成假分数，然后再按分数乘法进行计算。
重点公式
1、长方形周长＝（长＋宽）×2 长方形面积＝长×宽
2、正方形周长＝边长×4 正方形面积＝边长×边长
3、三角形面积＝底×高÷2
4、平行四边形面积＝底×高 5、梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2
6、长方体的表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2
7、长方体体积＝长×宽×高 （或者：底面积×高）
8、正方体的表面积＝棱长×棱长×6
9、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长（或者：底面积×高）
10、圆的面积＝圆周率×半径×半径 （）
11、圆的周长＝圆周率×直径 或 2×圆周率×半径 （）
12、已知圆的直径（d），求半径。半径＝直径÷2（）
13、已知圆的周长（c），求半径。半径＝周长÷2÷3.14 （）
14、圆柱的表面积：（分三步进行计算）
①圆柱侧面积＝底面周长×高 （）
已知圆柱底面直径（d）： （）
已知圆柱底面半径（r）： （）
②底面积： （）
③表面积＝侧面积＋两个底面积 （）
15、圆柱的体积＝底面积（圆面积）×高 （）（）
16、圆锥的体积＝×底面积（圆面积）×高 （）（）
17、环形面积＝外圆面积（大圆）－内圆面积（小圆）
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