Question

证明一个线性方程组的增广矩阵的秩比其系数矩阵的秩相最多大1

Answer 1

设系数矩阵由A1,A2,……，An共n个列向量组成，则其增广矩阵必由A1,A2,……，An，B共n+1个列向量组成。
若系数矩阵的秩为r,则必存在r个向量Ar1,Ar2,...,Arr线性无关,而A1,A2,……，An都是他们的线性组合。若Ar1,Ar2,...,Arr，B线性无关,则增广矩阵的秩为r+1;若Ar1,Ar2,...,Arr，B线性相关，则增广矩阵的秩为r。从而一个线性方程组的增广矩阵的秩比其系数矩阵的秩相最多大1。

Answer 2

知识点:
向量形式: r (a1,...,as, b1,...,bt) <= r(a1,...,as) + r(b1,...,bt).
矩阵形式: r(A,B) <= r(A)+r(B).

所以有: 增广矩阵的秩 r(A,b) <= r(A) + r(b) <= r(A) + 1.