Question

已知函数f（x）=1/4ˆx+2 1.证明：函数f（x）关于点（1/2，1/4）对称

2.求f（0）+f（1/8）+f（2/8）+...f（7/8）+f（1）的值

Answer 1

y=f(x)关于点(a,b)对称的表达式是 y=2b-f(2a-x)
(1)y=f(x)关于(1/2,1/4)对称后的函数为
y=1/2-1/[4^(1-x)+2]
=1/2-4^x/[(4+2*4^x)
=1/2-4^x/[2(4^x+2)]
=(4^x+2-4^x)/[2(4^x+2)]
=1/(4^x+2)
和f(x)一样，故f(x)关于(1/2,1/4)点对称
(2).由(1)得
f(1/2+x)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/2-x)
f(1/2+x)+f(1/2-x)=2*f(1/2)=1/2 //f(1/2)=1/4
f(1/2+1/2)+f(1/2-1/2)=1/2 即 f(1)+f(0)=1/2
f(1/2+3/8)+f(1/2-3/8)=1/2 即 f(7/8)+f(1/8)=1/2
f(6/8)+f(2/8)=1/2
f(5/8)+f(3/8)=1/2
f(0)+f(1/8)+f(2/8)...+f(7/8)+f(1)
=(1/2)*4+f(1/2)=2+1/4=9/4

Answer 2

1)y=f(x)关于（1/2，-1/2）对称后的函数为
-1-y=f(1-x)=-2/(4^(1-x)+2)
y=-1+2/(4^(1-x)+2)=-1+(2*4^x)/(4+2*4^x)=-1+4^x/(4^x+2)=-2/(4^x+2)
为原函数，故关于（1/2，-1/2）点对称

(2)由(1)得f(1/2+x)-f(1/2)=f(1/2)-f(1/2-x)
f(1/2+x)+f(1/2-x)=2*f(1/2)=-1
或者f(x)+f(1-x)=-1
于是f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(-2)+f(3)+f(-1)+f(2)+f(0)+f(1)=-1*3=-3

追问

是关于点（1/2，1/4）对称，你那答案我在别处已经看到拉

追答

那就没了，你参考下吧

Answer 3

求导