Question

为什么说定积分的值与积分变量无关？

Answer 1

因为只是个符号，其实整个高等数学的基础是极限，而定积分的最最最基础就是和的极限。

积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

如果一个函数的积分存在，并且有限，就说这个函数是可积的。一般来说，被积函数不一定只有一个变量，积分域也可以是不同维度的空间，甚至是没有直观几何意义的抽象空间。

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a，b。

参考资料来源：百度百科——定积分

Answer 2

因为只是个符号.

其实整个高等数学的基础是极限,而定积分的最最最基础就是和的极限.

你只要理解s=lim∑s

就能理解你所提的这个问题,还有定积分的运算性质.变上限函数等等一系列定积分问题.

建议你仔细看下关于定积分的推导.

从图中你可以看出来y=f(x)和y=f(t)的图像是一样的,所以与x轴围起来的面积也是一样的(只要上下限相同),面积相同也就是定积分相同,所以与积分变量的符号是无关的.

由此还可以知道,即使上下限相同,被积函数不同,定积分也是可以相同的.

追问

谢谢，就是说定积分的值取决于x，而f(t)dt只是一个形式上的式子，知道意思就行了，所以可以写为f(x)dx，是吗

另外这句话：
由此还可以知道,即使上下限相同,被积函数不同,定积分也是可以相同的.

是不是有地方打错了？

追答

你理解错了,不是取决与x.而是取决于被积函数f(x). 当积分限(可以是上限,也可以是下限,也可以都是)是个变量时(为了不混淆,所以我们才和积分变量取不同字母),这定积分就只和这个变量有关.
我下面没有打错呢. 因为只要围起来的面积相同,定积分就相同,所以就算上下限相同,被积函数不同,还是可以定积分相同的.

其实,按照我的经验,我现在说再多,你一下子可能还是理解不了.这个等你遇到多了,题目遇到多了,自己就会慢慢形成概念.特别是如果你是工科,以后遇到很多上下限是变量的函数,你就会理解的很深刻.你现在最关键的只要记住.这个定积分的式子其实就是一个和的极限.也就是记住书上那个定积分的定义式.

Answer 3

理解到这就够了，定积分的几何意义是面积的代数值的和，把曲线分成在x轴上方的部分和在x轴下方的部分，就是曲线在x轴上方的部分的积分是面积，在x轴下方的部分的积分是面积的负值，也就是相反数，然后各部分加在一起就是整个积分了，被积函数的自变量就是积分变量，显然被积函数的自变量是x还是t都不重要，就是在平面直角坐标系里面横轴是x轴还是t轴都可以，字母只是代表变化的实数，与用哪个字母表示是无关的

按你说的t＝2x是可以计算的，但是积分区间必须相应的进行改变，也就是定积分的换元积分法，
其实有另一种理解方法，你可以设x＝u，积分区间不变，相当于只是改变积分变量是换元积分法的一个特例

Answer 4

根据定积分的定义，定积分是函数f(x)在[a,b]上的积分和∑f(ξi)△xi的极限，当所有的△xi都趋向于0时，不过区间[a,b]如何分法，点ξi如何选取，极限都存在且相等，换句话说，极限只与区间[a,b]以及函数f(x)有关，只要区间[a,b]给定了，函数的对应法则给定了，积分就确定了，至于函数的自变量是x还是t等，与积分当然无关了。
也可以结合定积分的几何意义－曲边梯形的面积来理解。