Question

已知f(x)=x+a/x^2+bx+1是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性,并证明你的结论.

Answer 1

因为是奇函数，所以f(-x)=-f(x)
-x+a/(-x)^2-bx+1+x+a/x^2+bx+1=0 2a/x^2+2=0, a/x^2=-1
f(x)=(1+b)x,(1+b不=0)
当1+b>0时，设x1<x2, f(x1)-f(x2)=(1+b)x1-(1+b)x2=(1+b)(x1-x2)<0,此时,f(x)是增函数
当1+b<0时，设x1<x2, f(x1)-f(x2)=(1+b)x1-(1+b)x2=(1+b)(x1-x2)>0,此时,f(x)是减函数
祝你学习进步！

Answer 2

因为f(x)是奇函数，且x=0有定义，所以f(0)=0 ==>a=0
f(-1)=-f(1) f(1)+f(-1)=0==>(2+b)+(2-b)=0 ==>b=0
f(x)=x/(x^2+1)=1/(x+1/x)
f '(x)=(1-x^2)/(x^2+1)^2
因为-1≤x≤1==>f '(x)≥0
所以函数f(x)单调增

若没有学过导数可用单调函数定义证明，不明白的话的再追问