Question

已知a的平方+b的平方=1,对于满足条件x大于等于0小于等于1的一切实数x，

不等式a（1-x）（1-x-ax）-bx（b-x-bx）大于等于0恒成立。当乘积ab取最小值时，求a、b的值

Answer 1

a（1-x）（1-x-ax）-bx（b-x-bx）大于等于0恒成立(0<=x<=1)
化简：
#1 a(1-x)^2-x(1-x)+bx^2>=0恒成立(0<=x<=1)
从这里即可知a>=0,b>=0
令：
t=1-x,则：x=1-t,0<=t<=1
#1化为：
#2 at^2-t(1-t)+b(1-t)^2>=0恒成立(0<=t<=1)
换个自变量即为：
#3 b(1-x)^2-x(1-x)+ax^2>=0恒成立(0<=x<=1)
#1+#3得：
a+b>=[2x(1-x)]/[(1-x)^2+x^2]恒成立(0<=x<=1)（希望这里能理解）
这里需要求[2x(1-x)]/[(1-x)^2+x^2]在【0,1】上最大值：
[2x(1-x)]/[(1-x)^2+x^2]=[2x(1-x)+2x(1-x)]/[2x(1-x)+(1-x)^2+x^2]=4x(1-x),最大值为1（此时x=1/2)
所以a+b>=1
ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=(a+b)^2-1
当a+b=1时，ab取最小值0
所以，
a=0,b=1或者a=1,b=0