Question

已知如图,在△ABC中,CD⊥AB,CD=BD，BF平分∠DBC，与CD，AC分别交于点E，F，且DA=DE，

H是BC边上的中点，连接DH与BE相交
（1）求证△EBD≌△ACD
（2）点G在∠DCB的平分线上
（3）试探索CF、GF和BG之间的等量关系，并证明你的结论

Answer 1

证明：（1）在等腰Rt△BCD中，BD=CD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
∵在△FBD和△ACD中，
DA＝DF
∠BDC＝∠ADC
BD＝CD ，
∴△FBD≌△ACD（SAS）；

（2）∵△FBD≌△ACD，
∴∠DBF=∠DCA，
∵∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠A=90°，
∴∠DBF+∠A=90°，
∴∠AEB=180°-（∠DBF+∠A）=90°，
∵BF平分∠DBC，
∴∠ABF=∠CBF，
∵在△ABE和△CBE中，

∠AEB＝∠CEB＝90°
BE＝BE
∠ABF＝∠CBF ，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AB=CB，
∴△ABC是等腰三角形；

（3）∵△FBD≌△ACD，
∴BF=AC，
∵△ABE≌△CBE，∴AE=CE=1/2AC，
∴CE=1/2BF；

（4）连接CG，
∵在等腰Rt△BCD中，H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC，
∴BG=CG，
∴∠GBC=∠GCB，
∴∠EGC=∠GBC+∠GCB=2∠GBC=45°，
∴△EGC是等腰直角三角形，∴CG=根号2GE，
即BG=根号2 CE，
∴BG：GE=根号2 ．

如图，已知在等腰Rt△BCD中，∠BDC=90°，BF平分∠DBC，与CD相交于点F，延长BD到A，使DA=DF，延长B... - 初中数学 - 菁优网
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Answer 2

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