Question

数学排列组合题，各位帮帮忙谢谢

把20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于它的编号数，则不同的方法共有多少种？
我知道有答案是120种。可是我自己的理解是先在20个球中选一个放1号，选两个放2号，选三个放3号，这样就还剩下14个球，每个球都有三种机会，这样就有3^14次，如果重复，重复在哪，请详细说明

Answer 1

“20个不加区别的小球”表示小球是无序的，所以不能用“每个小球都有3种机会”这种算法。
举例来说，如果是有编号小球，那么1号盒子里放1号和2号球，与 放3号和4号球是不同的放法，但对无序小球来说，这是相同的放法。所以3^14中有很多重复。

Answer 2

正确的解法是插空法
假设把14个球排一排，14个球共有13个空隙，加上两头的，有15个空，
现在可转化为将三个小盒插入15 个空档的排列数。对应关系是:以插入
两个空档的小盒之间的小球个数, 表示右侧空档上的小盒所装有小球数,
最左侧的空档可以同时插入两个小盒. 而其余空档只可插入一个小盒,
最右侧空档必插入小盒于是, 若有两个小盒插入最左侧空档, 有
C（2，3） 种; 若恰有一个小盒插入最左侧空档, 有C（1，3）C（1，3）种;
若没有小盒插入最左侧空档, 有C（2，13） 种, 由加法原理, 有
N=C（2，3）+C（1，3）C（1，3）+C（2，13）=120 种排列方案, 即有120 种放法

Answer 3

5