Question

已知函数f(x)=x |x-2a|

当0<a<3时,求函数y=f(x)在区间[0,7]的最大值g(a)若函数y=f(x)在区间(m,n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m,n的取值范围

Answer 1

y=x|x-2a|=x^2-2ax=(x-a)^2-a^2(当x≥2a时)
y=x|x-2a|=-x^2+2ax=-(x-a)^2+a^2(当x<2a时)
0<a<3, 对称轴x=a处于区间[0,7]的偏左部分
所以最大值g(a)=f(7)=7(7-2a)=49-14a

因为所给的区间是开区间，所以最大，最小值不可能在区间的两端达到
这个函数的图象是，
当x<2a时，以x=a为轴的一条开口向下的抛物线，且过点（0，0）和（2a,0）【只取x<2a部分】;
当x≥2a时以x=a 为轴的一条开口向上的抛物线且过(2a,0)【只取x≥2a部分】 你自己作一个图象
结合图象，可看出0≤m<a, 2a≤n≤(1+√2)a
以下说明(1+√2)a是从何而来的
过开口向下的抛物线的顶点P（a,a^2），作一条水平的直线，交右边的图象（x≥2a部分）于点Q，即n的取值最大不得超过Q点的横坐标，所以有以下这个式子
a^2=x(x-2a)àx=(1±√2)a,(舍-) ， 这就是n取值的最右端
所以最大值=a^2,(x=a时)最小值=0（x=0或2a时）

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