Question

一个线性代数题

四阶行列式
1 1 1 1
x a b c
x^2 a^2 b^2 c^2
x^3 a^3 b^3 c^3
求达人详解！
1 1 1 1
x a b c =0
x^2 a^2 b^2 c^2
x^3 a^3 b^3 c^3
是解方程

Answer 1

将行列式看做x的多项式f(x),该行列式为多项式f(x)=αx^3+βx^2+γx+δ=α(x-x1)(x-x2)(x-x3)。其中α、β、γ、δ、x1、x2、x3为复数。
由行列式基本性质，f(a)=f(b)=f(c)=0，所以x1、x2、x3为a、b、c
即f(x)=α(x-a)(x-b)(x-c)
x^3项系数α的相反数为三阶行列式
1 1 1
a b c
a^2 b^2 c^2
同理将该三阶行列式看做关于a的多项式f(a)可得f(a)=u(a-b)(a-c)
a^2项的系数u为二阶行列式
1 1
b c
=(c-b)
所以f(a)=(c-b)(a-b)(a-c)
α=（a-b)(a-c)(b-c)
即f(x)=（a-b)(a-c)(b-c)(x-a)(x-b)(x-c)。
另外，这个是个范德蒙德行列式

Answer 2

在书上找范德蒙行列式，直接套公式就行。