Question

求解：已知π/2<β<α<3π/4，cos（α-β）=12/13，sin（α+β）=-3/5,则sinα+cosβ=

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Answer 1

已知π/2<β<α<3π/4, 0＜α-β＜π/2，故 sin（α-β）= √1-cos²（α-β）=5/13
π＜a+b＜3π/2，cos（α+β）= - 4/5
cos2a=cos{（α-β）+（α+β）}=12/13*( - 4/5)-5/13*(-3/5)= -33/65=1-2sin²a
所以sina=7/ √65= 7√65/65
cos2β=cos{（α-β) -（α+β）}= - 63/65= 2cos²β-1
所以cosβ= - √65/65
sinα+cosβ= 6√65/65

Answer 2

因为 π/2<β<α<3π/4，cos（α-β）=12/13，sin（α+β）=-3/5
所以 sin(α-β)=5/13,cos(α+β)=4/5
即有 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=12/13 (1)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=4/5 (2)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=-3/5 (3)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=5/13 (4)
由（1）、（2）求得
cosαcosβ=56/65 （5）
sinαsinβ=4/65 （6）
由（3）、（4）求得
sinαcosβ=-7/65 （7）
cosαsinβ=-32/65 （8）
由（5）、（8）求得
sinβ/cosβ=-4/7
则cosβ=-7/√65 （π/2<β<3π/4）
由（6）、（7）求得
sinα/cosα=-1/8
则sinα=1/√65 （π/2<α<3π/4）
故sinα+cosβ=-6/√65

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Answer 3