Question

已知函数f(x)=lnx+x^2 (1)若函数g(x)=f(x)-ax在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围;

(2)在(1)的条件下，若a>1,h(x)=e^3x-3ae^x,x∈[0,ln2]求h(x)的极小值

Answer 1

1).f(x)=lnx+x² x>0
g(x)=f(x)-ax=lnx+x²-ax
g(x)在其定义域内为增函数
那么g‘(x)在(0,+∞)恒大于等于0
g'(x)=1/x+2x-a≥0
a≤1/x +2x
1/x+2x ≥2√2
a≤2√2
2）令e^x=t t∈[1,2]
h(t)=t³-3at
h'(x)=3t²-3a=0 => t=±√a
h(t)在[-√a,√a]单调递减
h(x)极小值为 h(√a)=-2a√a

Answer 2

解：（1）g'(x)=1/x+2x-a≥0，对任意的x属于（0，+无穷）恒成立
a≤1/x+2x,对任意的x属于（0，+无穷）恒成立
1/x+2x≥2根号2，所以a≤2根号2
（2）h'(x)=3e^3x-3ae^x=3e^x(e^2x-a)=0,x=lna/2
h(x)在（0，lna/2)减，在（lna/2,ln2)上增
极小值为h(lna/2)=a^(3/2)-3a*a(1/2)=-2a^(3/2)