Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）

函数f（x）定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+（x2）
且f（1）=0 ，该函数为偶函数，如果f（4）=1，f（x-1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．
我看不明白答案！！
答案：由f（X）是偶函数 且f（x-1）＜2得F（|X-1|）＜f（16）。且因为f（x）在（0，+∞）上是增函数
所以0＜|x-1|＜16
解得-15＜x＜17 且x≠1.
疑惑：那个绝对值是怎么弄出来的，有什么依据？？？为什么x≠1？这2个问题我已经想了一个下午了，求大侠解答！！！感激不尽

Answer 1

函数f（x）定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f（x1•x2）=f（x1）+（x2）
且f（1）=0 ，该函数为偶函数，如果f（4）=1，f（x-1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

解：因该函数为偶函数，所以有：f(x)=f(-x)
即：f(x)=f(|x|)
因：f（x1•x2）=f（x1）+（x2）
所以有：f(16)=f(4x4)=f(4)+f(4)=1+1=2
所以f（x-1）＜2可化为：
f(|x-1|)<f(16)
又因：f（x）在（0，+∞）上是增函数,所以有：
|x-1|<16 且|x-1|>0所以有：x-1≠0
即：-16<x-1<16(x≠1)
解得：-15<x<17(x≠1)

追问

这个x-1是大于0还是小于0,若小于0会怎么样

追答

x-1只要不等于0就可以了，若小于0，因有：f(-x)=f(x)
所以可以将它转化为大于0的算，但要是等于0的话，就不符合（0，+∞）这个条件了，因此
x-1不能等于0。

Answer 2

请参考下图：

Answer 3

对f（x1•x2）=f（x1）+（x2）取x1=x2=4，则f（16）=f（4）+f（4）=2，由f（X）是偶函数
则f（|x-1|）=f(x-1),再由f（x-1）＜2 所以f（|x-1|）<f（16）,f（x）在（0，+∞）上是增函数
所以0<|x-1|<16 解得-15＜x＜17 且x≠1

Answer 4

1. 对于偶函数来说，有f(-x)=f(x)，从而可以推出：f(|x|)=f(x)。这是一个有用的结论。
由于 f(16)=f(4)+f(4)=2，从而不等式f(x-1)<2 可化为 f(|x-1|)<f(16)，
这样做的目的是因为 |x-1|，6 都是正的(x≠1)，避免了讨论。
2. 由于f（x）定义域为D={x|x≠0}，又f(x-1)有意义，从而 x-1≠0

追问

这个x-1是大于0还是小于0,若小于0会怎么样

追答

因为f（x）在（0，+∞）上是增函数，如果x-1<0，
不等式f(x-1)<f(16)就不能化成 x-1<16

追问

必须大于0么

追答

因为f(x)在(0，，+∞）上是增函数，必须把自变量的值化在区间内。
化成了f(|x-1|)0，从而可以化成|x-1|<16

Answer 5

偶函数f(-x)=f(x),从而就有f(|x|)=f(x),由于是在（0，∞）是单增的所以必须保证自变量大于0，所以如果x=1,则|x-1|=0了不在（0，∞）

追问

这个x-1是大于0还是小于0,若小于0会怎么样