Question

已知，在三角形abc中，角bac等于90度，角abc等于45度，点d为直线bc上一动点（点d不与点

已知，在三角形abc中，角bac等于90度，角abc等于45度，点d为直线bc上一动点（点d不与点b，c重合）。以ad为边做正方形adef，连接cf。（1）如图1，当点d在线段bc上时，求证：cf＋cd等于bc（2）如图2，当点d在线段bc的延长线上时，其他条件不变，请直接写出cf，bc，cd三天线段之间的关系（3）如图3，当点d在线段bc的反向延长线上时，且点a，f分别在直线bc的两侧，其他条件不变①请直接写出cf，bc，cd三天线段之间的关系②若正方形adef的边长为2根号2，对角线ae，df相交于点o，连接oc。求oc的长度。

Answer 1

1）

因为 角1+角3 = 角2 + 角3 = 90度，因此∠1 = ∠2。
因为 角1 = 角2，AB = AC，AD = AF，因此△ABD ≅ △ACF
=> BD = CF
BC = BD + CD = CF + CD

(2)

因为 角1 = 角2 = 90度，AB = AC，AD = AF，因此△ABD ≅ △ACF

=> CF = BD = BC + CD

(3)
1.

因为 角1+角3 = 角2 + 角3 = 90度，因此∠1 = ∠2。
因为 角1 = 角2，AB = AC，AD = AF，因此△ABD ≅ △ACF

=> CF = BD
CD = BC + BD = BC + CF

2.

已知 △ABD ≅ △ACF，因此角ABD = 角ACF。
因为△ABC为等腰Rt△，角ABC = 角ACB = 45度
因此角ACF = 角ABD = 180度 - 角ABC = 135度。
所以，角BCF = 角ACF - 角ACB = 90度。 => △DCF为Rt△
因为△DCF为Rt△，O为DF中点，因此OD = OC = OF。
OC = OF = 2√2 / √2 = 2。

===============================================
{因为△DCF为Rt△，O为DF中点，因此OD = OC = OF。 如果也需要证明！}
过O做OG垂直CD，G为CD上之垂足。

因为OG垂直CD，且O为DF中点，因此OG平行CF，且DG = CG。
因为DG = CG，共用OG，因此Rt△OGD ≅ Rt△OGC => OD = OC。