Question

高中数学圆锥曲线题目

在平面直角坐标系xoy中,设A,B是双曲线x^2-y^2/2=1上的两点，M（1,2）是线段AB中点，线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点。
求直线AB与CD的方程

Answer 1

设A,B坐标为(xA,yA),(xB,yB)
则xA^2 - yA^2/2 = 1
xB^2 - yB^2/2 = 1
上式-下式得
xA^2 - xB^2 = (yA^2 - yB^2)/2
(yA - yB)/(xA - xB) = 2(xA + xB)/(yA + yB)
M（1,2）是线段AB中点
且xA+xB = 2
yA+yB = 4
∴
(yA - yB)/(xA - xB) =1
∴AB斜率=1
AB中点是（1,2）

∴AB：y = x + 1
方程是x-y+1=0
CD是线段AB的垂直平分线
∴CD斜率是-1
CD方程为x+y-3=0

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Answer 2

Answer 3

（1）根据题意得c=3（a^2/c-c），得出x^2/4-y^2=1.
(2)由题意得直线（2m+1）x+（3-m）y-2n-1=0（m≠3）过定点（1,0），所以直线可表示为y=k（x-1），设A(x1，y1)，B（x2，y2），A'（x1，-y1）。将y=k（x-1）带入x^2/4-y^2=1，得（1+4k^2）x^2-8k^2x+4k^2-4=0,所以x1+x2=8k^2/（1+4k^2），x1x2=4k^2-4/（1+4k^2）。A'B直线的方程表示为y=(y2+y1)(x-x2)/(x2-x1)+y2,将y=0代入，
化简
x=[2x1x2-(x1+x2)]/(x1+x2-2),最后将x1+x2=8k^2/（1+4k^2），x1x2=4k^2-4/（1+4k^2）代入化简，得x=4，所以过定点（4,0）。眼睛看花了。。。