Question

一道矩阵的题

E12是初等矩阵吗？怎么变的？行列式交换两列变不变号？

Answer 1

答：
注意，XY=矩阵X左乘Y，即是X对Y做行变换(对Y的行进行操作）
同时，XY=矩阵Y右乘X，即是Y对X做列变换(对X的列进行操作）。

行变换：
本题中E12=P1=
1,0,0;
-2,1,0;
0,0,1
用它左乘B，即是将B的第一行乘-2加到第二行上。
可以这样理解：
E12*单位矩阵E=E12,看看E12对单位矩阵E的行做了哪些操作之后得到E12，然后将同样的操作应用到B上，即是E12*B。
我们一起来看：E12与E相比，谈它对E的行作了些什么操作？显然是对E的首行乘-2再加到第二行。

列变换：
同样，E13=
0 0 1
0 1 0
1 0 0
那么C*E13即是对C的列进行操作。进行哪样的操作呢？
我们将E13与单位矩阵E相比，显然是对E的13两列进行了交换。同样对C的13两列进行交换即可。

这个例子中，交换了13两列，行列式的值变号。这个容易理解。
|C*E13|=|C|*|E13|
容易看到|E13|=-1。故行列式变号。
如果是交换12两列呢？
E12=
0 1 0
1 0 0
0 0 1
因为|E12|=-1，故行列式变号了。

记忆与解释一：
实际上，我们视123为原排列，或称零排列，初始排列。其逆序数为0.
交换13变成排列 321，这个排列的逆序数为3，是个奇排列，故变号。
交换12变成排列213，这个排列逆序数为1，是个奇排列，故变号。

类似的，将原来的123列按312重新排列，对应于矩阵P，会怎么样呢？
我们看到312的逆序数为2，是偶排列，那么行列式不变号。下面来验证。
P=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
|P|=1，果然，行列式不变号。

概念：
逆序数——
对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个 不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。
逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。如排列2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。

记忆与解释二：
如果初等变换矩阵是单位矩阵E的行的变换，写成置换的形式，如果是奇置换(奇数次对换)，那么行列式变号。若是偶置换，则不变号。

例：
我们视123为原排列，或称零排列，初始排列。与新的排列并列在一起构成矩阵，称为置换。
如
123
123
这样的置换，元素不曾变动，称为恒等置换。
交换13变成排列 321，此时写成矩阵形式是
123
321
按轮换或对换形式写出为(13)，一个对换就对应于一次变号，对换次数为奇数1，为奇置换。

交换12变成排列213，同样也是一次对换(12)，为奇置换。

若将原来的123列按312重新排列，此时对应的矩阵形式为
123
312
写成轮换形式为(132)。
也可以经历一番过渡，如
123
321
312
于是(132)=(13)(12)，是两次对换的乘积，对换次数为2，为偶置换。

概念：
置换——
将元素的变换用矩阵的形式表示的一一对应叫做置换。
如矩阵
X=
1 2 3
3 2 1
Y=
1 2 3 4 5
3 1 2 5 4
分别表示一个置换。
置换也可以表示为轮换。
如X=(13)(22)=(13)，即13发生交换，2不变。此时省写成(13)。此时只有两个元素交换，称为
交换，或对换，或换位。对换是一种简单的轮换。
Y=(132)(45)，即按1>3>2>1的方式轮换，按4>5>4的方式轮换(对换).

最后一题：试用左乘<->行的变换或右乘<->列的变换来分析：
P=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
Q=
0 1 0
0 0 1
1 0 0
PQ=E=
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Answer 2

E_{12}(-2) 表示第三类初等变换, 把第1行乘上-2之后加到第2行上