Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示。

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别用a、b、c表示。（1）如图①，在△ABC中。∠A=2∠B，且∠A=60°，求证：a²=b（b+c）
（2）如果三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。问题（1）中的三角形就是一个特殊的倍角三角形，对于任意的倍角三角形，（如图②），其中的∠A=2∠B，关系式
a²=b（b+c）是否仍然成立？证明你的结论。

Answer 1

,1）∠A=2∠B，且∠A=60°，可知∠B=30°，∠C=90°
∴2b=c，即b=c-b
据勾股定理有c²-b²=a²，
(c+b)(c-b)=a²
c-b=b，∴b(b+c)=a²
2）对于任意的倍角△ABC，∠A=2∠B，a2=b（b+c）仍然成立。
图2中延长BA至D，使AD=AC=b，连CD。
则∠CAB=2∠D，∴∠B=∠D，BC=CD=a，
由△ADC∽△CDB ，
即a/b=(b+c)/a。∴a²=b（b+c）