Question

已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数,且f(x)-g(x)=e^x.(1)求f(

x),g(x)。(2)判断f(x)在R上的单调性，并说明理由。

Answer 1

解由f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数,
则f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）
故由f(x)-g(x)=e^x...................(1)
用-x代替x得
f(-x)-g(-x)=e^（-x）
即-f(x)-g(x)=e^（-x）................(2)
由（1）和（2）联立解得
f（x）=（e^x-e^(-x)）/2
g（x）=-（e^x+e^(-x)）/2
2f（x）=（e^x-e^(-x)）/2是增函数
原因f（x）=（e^x-e^(-x)）/2=1/2（e^x-1/e^x）
当x增大时，e^x增大，1/e^x减小，-1/e^x增大，e^x-1/e^x增大，1/2（e^x-1/e^x）增大，
故f（x）=（e^x-e^(-x)）/2=1/2（e^x-1/e^x）是增函数。