Question

设f(x),g(x)都是(-∞,+∞)上的可导函数,且f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),

f(0)=1,g(0)=0.
证：（f(x))^2-(g(x)^2=1 , x(-∞,+∞)

Answer 1

证明：f'(x)=g(x),g'(x)=f(x)设h(x)=f²(x)-g²(x)求导：h'(x)=2f(x)f'(x)-2g(x)g'(x)=2f(x)g(x)-2g(x)f(x)=0所以：h(x)=f²(x)-g²(x)=C为常数函数x=0时代入得：h(0)=f²(0)-g²(0)=C,f(0)=1,g(0)=0,h(0)=1 所以f²(x)-g²(x)=1