Question

已知0<x<5/2,函数y=x(5-2x)的最大值是

刚才搜了很多...有一个答案是这样的.
用基本不等式y=x(5-2x)=(1/2)2x(5-2x)≤(1/2)[(2x+5-2x)/2]²=25/8当且仅当 2x=5-2x，即 x=5/4时，y有最大值为25/8
额.数学学的不太好....
所以想问2个问题.
题目的已知0<x<5/2有什么用
为什么x(5-2x)会推导成(1/2)*2x(5-2x)这个的??我换成(1/3)*3x(5-2x)不可以吗??

Answer 1

一般遇到最值问题，除了用不等式外，我最常用函数来做
y=x(5-2x)=-2x^2+5x
这个函数图像开口向下，对称轴为x=5/4
也就是x=5/4时，y取最大值25/8
再看x的范围（0,5/2)
在（0,5/4)上，y递增；（5/4,5/2)上，y递减
所以最大值为25/8
用不等式的话，你要记住一些常用的基本不等式，要有一眼就看出其形式的感觉。

追问

.......如何培养..一眼就看出其形式的感觉

追答

多做多练，这东西就是被逼出来的

Answer 2

变成2x*(5-2x)，用基本不等式，就可以消去x了：
ab<=(a+b)²/4,
这里a=2x, b=5-2x
a+b=5
这里的条件是为了保证a>0,b>0
而如果你变换3x*(5-2x)
用基本不等式后，a=3x, b=5-2x
a+b=5+x就不是个定值了。

追问

很感谢你的回答..额
但是我自己算了一下.错了,但是又不知道错哪里了

因为y=x(5-2x)所以y=1/2*2x(5-2x)
所以a=2x,b=5-2x
那么a+b=5
所以代入公式(a+b)的平方/4= 25/4
而已..怎么答案是25/8的呢?

追答

最前面还有个1/2呀

追问

对喔.....遇到这些题的时候就是不知道怎么下手...您有什么好建议么

Answer 3

找此函数的对称轴，看x的取值范围是否有该数，如果有，最值相应计算即可得出。