Question

简便 计算:1+3+3^2+3^3+3^4+........+3^n

1+3+3^2+3^3+3^4+........+3^n

Answer 1

用
。
S1=1^3=1^2
S2=1^3+2^3=9=3^2=(1+2)^2
S3=1^3+2^3+3^3=36=6^2=(1+2+3)^2
S4=1^3+2^3+3^3+4^3=100=10^2=(1+2+3+4)^2
S5=1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=15^2=(1+2+3+4+5)^2
假设当n=k时，有Sk=1^3+2^3+...+k^3=(1+2+...+k)^2
则当n=(k+1)时，
S(k+1)=Sk+ak=(1+2+...+k)^2+(k+1)^3
=[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3
=(k+1)^2[k^2/4+k+1]
=(k+1)^2[(k^2+4k+4)/4]
=(k+1)^2(k+2)^2/4
=[(k+1)(k+2)/2]^2
=(1+2+...+k+1)^2
同样成立。

综上，得
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

Answer 2

等比数列求和 (1-3^(n+1))/(1-3)
=[3^(n+1)-1]/2